Logaritmy - jak počítat

Ono to zadání není stoprocentně čitelné, ale nejprve několik obecných pravidel:

0. K označení: dolní index (základ logaritmu) se v tomto editoru skutečně zapisje velmi těžku, tak převezmu značení z TeXu pmocí "podtržítka", k tomu přidám označení mocniny pomocí ^, takže logarivmus čísla b při základu a označím

log_(b) (a)

a podle definice je to takové číslo x, že umocněním základu a na x dostaneme b; s pomocí uvedené symboliky

log_(b) (a) = x ⇔b^x = a

(ty závorky by se nemusely psát, ale jsou užitečné, pokud a či b je komplikovanější výraz; například log_3A B by bez užití závorek mohlo znamenat logaritmus čísla B při základu 3A, nebo taky logaritmus čísla AB při základu 3.

základní pravidlo, podmínaka, která musí být splněna, aby logaritmus a při základu b vůbec měl smysl, je, že a musí být kladné a b musí být kladné a různé od jedné (proč různé od jedné? no prostě proto, že jedna na cokoli je zase jedna, takže "inverzní vztah"

b^x = a

nemůže být splněn skoro nikdy.

Více po obědě.

Teď tedy více o počítání s logaritmy. K procvičení mohu doporučit například knížku Josef Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy; také můžeš nahlédnout do Wikipedie cs.wikipedia.org/... kde ovšem jsou i věci (například logaritmus komplexniho čísla, Taylorův rozvoj atp,), které ti nic neříkají a nepotřebuješ je znát. Tak je prostě přeskočíš.

0. Zopakuji základní definiční vztah (jen použiji pro změnu jiná písmena):

x= log_a (y) ⇔y = a^x; (a>0, a # 1, y>0)­

Ty podmínky v závorce jsou důležité a nesmíme na ně zapomínat. Symbolem # myslím různé, nerovná se ... mělo by být přeškrtnuté rovnítko, ale to v editoru neumím.

Například

log_(1/3) 27 = _ 3, protože (1/3)^(_3) = 27

log_(5)(1/125) = _ 3, protože 5^(-3) = (1/5)^3 = 1/125

atd.

Další pravidla jsou vlastně, vzhledem k definiční rovnosti z bodu 0, inverzně čtená pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami; zopakuj si je:

1.

log_(a)(xy) = log_a (x) + log_a (y), (a, x, y>0, a # 1) (slovy stručně - bez vyslovení podmínek - logaritmus součinu je roven součtu logaritmů)

log_a (x/y) = log_a (x) _ log_a (y), (a, x, y>0, a # 1) (slovy: logaritmus podílu je podíl logaritmů)

log_a (x^y) = y * log_a (x), (a, x>0, a # 1) (Slovy: logaritmus mocniny je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny)

Tohle by ti ve většině případů stačilo, nicméně uvedu ještě další užitečné vztahy, které například vyjadřují vztahy mezi logaritmy s různým základem, a pod."

2.

jestliže a, b, x jsou reálná čísla, a>0,b> 0, a # 1, b # 1, pak platí:

x = a^(log_a (x)),

log_b (a) = 1/(log_a(b))

log_(a) (x) = (log_(b) (x) )/(log_(b) (a))

==============================

S těmito pravidly by sis měl s příklady poradit, já bych třeba i něco předvedl, ale těm tvým tak úplně nerozumím. Třeba hned ten první,

log5 [dolní index=základ]1/125 - log3[dolní index] =

Řekl bych, že úloha je, ten výraz zjednodušit, případně vypočítat. To první by v našem novém značení mohlo být log_(5)(1/125), nebo taky

log_(1/125)(5) (i když to asi ne)

ale ta druhá část

log3[dolní index]

mi je úplně nejasná, skoro bych řekl, že tam něco chybí. Předběžně upozorňuji, že ta základní pravidla pro počítání s logaritmy se týkají logaritmů se stejným základem, takže pokud v těch dvou výrazech budou základy různé, bude to trochu komplikovanější (jak, to nevím, dokud nebudu přesně vědět, jak ty výrazy vypadalí.

==========================

Ten graf, to je zase další téma, i když úzce související, to bych nechal na další odpověď.