Poloha kružnice a přímky

Od: nematik 07.02.11 19:47 odpovědí: 7 změna: 08.02.11 15:20

Dobrý večer, narazil jsem na příklad, se kterým nemůžu hnout. Mám dánu kružnici k (x*2+y*2-6x+4y+8=0) a přímku p: x+2y+c=0. Úkolem je určit hodnotu c tak, aby přímka byla kružnici tečnou. Nevím, jak na to

Převedl jsem si rovnici kružnice na středový tvar, vyšlo mi (x-3)*2 + (y+2)*2 - 5=0, ale nevím, jestli je mi to vůbec k něčemu. Pokusil jsem se vyjádřit z rovnice přímky x a dosadit do první rovnice, ale vychází mi pak příliš mnoho neznámých. :/ Potřebuju se dostat ke kvadratické rovnici, jejímž diskriminantem by byla nula, pak bych věděl, že jde o tečnu.

Poradí mi prosím, jak se k rovnici dostat? Díky

Odpovědět na otázku Skočit na nejnovější odpověď

7 odpovědí na otázku

Řazeno dle hodnocení

petapeta*

08.02.11 12:58

Váš postup je také správný. Z rovnice pro přímku vyjádříme x a dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme kvadratickou rovnici s parametrem. Z této rovnice vyjádříme diskriminant a určíme, pro jaké c bude roven nule.

x = -2y _ c dosadíme do rovnice kružnice:
(-2y _ c)² + y² _ 6(-2x _ c) + 4y + 8 = 0
...
5y² + (16 + 4c)y + c² + 6c + 8 = 0 a diskriminant této rovnice je
D = (16 + 4c)² _ 4*5*(c² + 6c + 8) = -4c² + 8c + 96
Diskriminant položíme roven nule a dostaneme kvadratickou rovnici
-4c² + 8c + 96 = 0,
a získáme dva kořeny c₁ = -4 a c₂ = 6. Takže dostaneme dvě přímky
x + 2y _ 4 = 0
x + y + 6 = 0

[přidat komentář]

miramira®

07.02.11 21:15

Vypočítejte přímku, která je k té vaší dané kolmá...tj. její směrový vektor je normálovým vektorem přímky zadané a vypočtená přímka by měla procházet středem kružnice. Dále je zapotřebí určit souř. průsečíků nové přímky s kružnicí...myslím, že by měly být dvě řešení. zjištěné souřadnice průsečíků dosadíte do rovnice přímky zadané a dopočtete koef. C a máte výslednou tečnu. No... je to dost obecně. Lepší než nic ne? směrník p: (2, 1); směrník n: (-1, 2) to přesně nevim, ale průsečík 1 vyšel X=4 Y=0 a průsečík2 X=2a Y=-4 (přesně tedy bod na tečně)

doplněno 07.02.11 21:17:

Střed (3,-2); R=5 ^ 1/2 (odmocnina 5)

nematik

07.02.11 21:39

Když to počítám s vašimi údaji, vychází mi to i podle výsledků v knize,děkuji. Jen nechápu, proč je směrový vektor (2,1) a ne (1,2)? Rovnice je přece x+2y...?

jirbar*

07.02.11 22:23

Pokud dobře koukám, tak směrnice zadané přímky je (-1,2) a směrnice kolmice (2,1). Tak v čem je problém.

petapeta*

08.02.11 12:14

Je-li obecný tvar rovnice ax + by +c = 0, pak normálový vektor je n = (a,b). V tomto případě je a = 1, b = 2, takže normálový vektor je n = (1,2) a směrový vektor u = (2,-1).

A směrnice je k = tgα = -a / b , b ≠ 0.

miramira®

08.02.11 07:07

mrkněte na obecnou rovnici přímky. cs.wikibooks.org/... v článku.

[přidat komentář]

nematik

08.02.11 15:20

Díky všem, nakonec jsem to rozřešil úplně jinak Počítal jsem to podle vzorce pro vzdálenost bodu od přímky a došel jsem ke stejnému výsledku

Skočit na otázku
Vložit novou otázku

[přidat komentář]

Přidat svou odpověď

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.

Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.