Nejste přihlášen/a.

Přihlásit se do poradny

 

Vysvetleni postupu

Od: matonockoa odpovědí: 3 změna:

Ahoj, u toho prikladu nechapu, jak jsme na čtvrtém radku rozlozili polynom x4 - 3x3 + 4x2 -3x+1 na ty dve zavorky. Dekuji za vysvetleni


 

 

3 odpovědi na otázku
Řazeno dle hodnocení

 

 


2x

Polynom P(x) = x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 může mít celočíselné kořeny +1 nebo –1, protože koeficient +1 je dělitelný jen těmito dvěma čísly. Dosazením P(1) = 0, P(–1) = 12, proto číslo +1 je kořenem polynomu.

Dělíme (x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1) : (x – 1) = x3 – 2x2 + 2x – 1.

Polynom Q(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1 může mít celočíselné kořeny opět +1 nebo –1. Dosazením Q(1) = 0, Q(–1) = –6, proto číslo +1 je kořenem.

Opět dělíme (x3 – 2x2 + 2x – 1) : (x – 1) = x2 – x + 1. Tento polynom 2. stupně již nemá reálné kořeny.

Původní polynom tedy můžeme rozložit, jak je v příkladu.

 


0x

Zdravím,

možná to je řešeno pomocí Hornerova schématu, což je postup, jak zjednodušeně zkoušet, zda kořenem daného polynomu je celé číslo. (většinou je prvně vyzkoušeno, zda je kořenem nebo vícenásobným kořenem číslo 1 nebo -1)

Možná je ten postup vysvětlen ve videu, na které vkládám odkaz



doplněno 17.06.21 12:04:

Předpokládám, že hornerovým schematem lze snadlo zjistit, že kořenem daného polynomu je číslo 1 (je to dvojnásobný kořen)

 


0x

To se nazyva faktorizace. Neboli cesky polopaticky - hledani, co musi byt mezi sebou vynasobeno, abychom dostali pozadovany vysledek.

a) Pro lehke ulohy se muze pouzit odhad hledani spolecneho faktoru (to funguje pouze pro jednoduche polynomy, kde je spolecny faktor zrejmy). Napr. 2x2+x=2x(x+1)

b) pro slozitejsi je uz potreba znat ekvivalentni zapisy, jako napr (a+b)2=a2+2ab+b2. Je jich cela rada a tyto opakujici se vzorce lze s trochou praxe v polynomech hledat, i kdyz nemusi byt na prvni pohled uplne jasne patrne. Napr. z na prvni pohled neuzitecneho x4 muzeme dostat (x2)2 a hned z toho mame tvar a2, kde a=x2.

c) pro jeste tezsi ulohy je dobre pouzit Hornerovo schema. Coz je algoritmus numericke matematiky. Nema smysl se s nim pocitat, mnohem snazi je natukat rovnici treba do wolfram-alpha, ktery ten algoritmus provede.

-

d) no a pokud neni pocitac k dispozici, nezbyva, nez provest deleni polynomu:

Zde plati nasledujici postup

1. resi se pouze polynomy s realnymi koreny. Ve chvili, kdy to zavani imaginarnim clenem, tak se vypocet ukonci.

2. pro vypocet se pouziva tzv. teorem realneho korenu, ktery pravi, ze pokud podil prvniho a posledniho clenu dosazeny do polynomu vede k vynulovani polynomu, pak lze polynom vydelit polynomem: x-naobek posledniho clenu minus prvni clen.

-

Ukazeme to konkretne:

x4-3x3+4x2-3x+1

prvni clen je 1 a posledni clen je take 1.

Provedeme test: 1/1=1

Dosadime tedy 1 do polynomu: 14-3*13+4*12-3*1+1=0

Polynom se vynuloval, tedy ho muzeme vydelit (x-naobek posledniho clenu minus prvni clen), tedy 1*x-1=x-1

Deleni polynomu polynomem:

(x4-3x3+4x2-3x+1) : (x-1)

Postup deleni vynechame, to sem nepatri a vysledkem je:

x3-2x2+2x-1

A nyni postupujeme opet od zacatku, tedy:

prvni clen je 1 a posledni clen je take 1.

Provedeme test: 1/1=1

Dosadime tedy 1 do polynomu: 13-2*12+2*1-1=0

Polynom se vynuloval, tedy ho muzeme vydelit (x-naobek posledniho clenu minus prvni clen), tedy 1*x-1=x-1

Deleni polynomu polynomem:

(x3-2x2+2x-1)x-1)

Postup deleni vynechame, to sem nepatri a vysledkem je:

x2-x+1

A jedeme dal, opet stejne:

prvni clen je 1 a posledni clen je take 1.

Provedeme test: 1/1=1

Dosadime tedy 1 do polynomu: 12-1+1=1 NEROVNA SE NULE - POLYNOM NEMA REALNY KOREN, NELZE POUZIT DELENI POLYNOMU

Jak sme psali zvrchu, vypocet se ukonci.

Mame tedy polynom x2-x+1, coz je dvakrat podeleny puvodni polynom - nejde tedy o zkraceny polynom, tedy neni ekvivalentni tomu puvodnimu. Neco mu zkratka chybi. A chybi mu samozrejme to, o co sme ho podelili.

V prvnim kroce sme ho podelili o x-1

a v druhem kroce sme ho podelili o x-1

Tak to musime k tomu zbyvajicimu polynomu zpet pridat, abychom dostali puvodni polynom.

Samozrejme to tim ale nebudeme nasobit, protoze bychom se pouze vratili na zacatek, ale pridae to k tomu jako nasobek.

Tedy (x2-x+1)*(x-1)*(x-1)

A zcela ocividne si (x-1)*(x-1) muzeme zapsat jako (x-1)2.

A tedy vysledek faktorizace puvodniho polynomu x4-3x3+4x2-3x+1 je (x2-x+1)*(x-1)2

 

 


 

 

 

Přihlásit se k odběru odpovědí z této otázky:

Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.

Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.

Copyright © 2004-2025 Poradna Poradte.cz. Všechna práva vyhrazena. Prohlášení o ochraně osobních údajů. | [tmavý motiv]