Lineární funkce

Lineární funkce s absolutní hodnotou - viz např. funkce.eu/...

Nejdřív připomenutí definice: Absolutní hodnota kladného čísla (nebo nuly) je to samé číslo, absolutní hodnota záporného čísla je číslo opačné. Tedy pro x ≥ 0 je |x| = x, pro x < 0 je |x| = –x.

Grafem je lomená čára - lomí se v bodě, kterému se říká nulový bod. To je bod, ve kterém je výraz v absolutní hodnotě roven nule.

V příkladu a) jsou dvě absolutní hodnoty, tedy dva nulové body: x = 0 a x = 2. Tyto body rozdělí graf na tři části, resp. osu x na tři intervaly.

Vypočítáme hodnoty funkce v nulových bodech, tj. y(0) = |0| – |2 – 0| = –2, dále y(2) = |2| – |2 – 2| = 2. Zakreslíme body [0, –2], [2, 2] do grafu.

Pro x ≥ 2 je výraz v absolutní hodnotě záporný (dosaďme např. x = 3), proto |2 – x| = –2 + x,

pro x < 2 je výraz v absolutní hodnotě kladný (dosaďme např. x = 1), proto |2 – x| = 2 – x.

a) V intervalu (–nekonečno, 0) je výraz v absolutní hodnotě |x| záporný, proto ji přepíšeme jako –x, výraz v absolutní hodnotě |2 – x| je kladný (dosadíme si třeba –2), tedy 2 – x. Dostaneme funkci y = –x – (2 – x) = –2. V uvedeném intervalu je funkce konstantní, y = –2.

b) V intervalu (0, 2) je výraz v absolutní hodnotě |x| kladný, tedy x, výraz v absolutní hodnotě |2 – x| je též kladný (dosadíme si třeba 1), tedy 2 – x. Dostaneme funkci y = x – (2 – x) = 2x – 2. V uvedeném intervalu dostáváme funkci y = 2x – 2. To je lineární funkce, tj. body [0, –2], [2, 2] spojíme úsečkou (což jsme mohli udělat hned).

c) V intervalu (2, +nekonečno) je výraz v absolutní hodnotě |x| kladný, tedy x, výraz v absolutní hodnotě |2 – x| je záporný, tedy –2 + x. Dostaneme funkci y = x – (–2 + x) = 2. V uvedeném intervalu je funkce konstantní, y = 2.

Graf: wolframalpha.com/...

Zde je něco podobného: poradte.cz/.... Stačí trochu hledat.

Zdravím,

dám sem řešení v noci.

V předpisech zadaných lineárních funkcí jsou absolutní hodnoty. Tedy grafy daných funkcí jsou "zalomené čáry" . Počet zalomení je tolik, kolik je v předpisu absolutních hodnot.

a) V tomto grafu jsou dvě "zalomení".

b) c) v těchto grafech je jedno "zalomení"

-----------------------------------------------------------------------------------

a)

"Vnitřky" absolutních hodnot dám rovno 0 a tak vypočítám body, ve kterých je graf funkce "zalomen".

x = 0

--

2 - x = 0

2 = x

--

Graf funkce je "zalomen " v bodech 0 a 2

Vznikly tak tři intervaly

( - nekonečno, 0)

( 0; 2)

(2 ; nekonečno)

Na těchto jednotlivých intervalech ("úsecích" ) je graf funkce "rovná čára".

--

Dosadím hodnotu 0 do předpisu funkce.

Pro x = 0 je y = -2

Tedy jeden bod grafu je [0;-2]

--

Dosadím hodnotu 2 do předpisu funkce.

Pro x = 2 je y = 0

Tedy další bod grafu je [2;0]

---

Dosadím další dvě hodnoty do předpisu funkce (libovolně zvolené, ale tak, aby byly z krajních intervalů)

Dosadím např.hodnotu -4 do předpisu funkce.

Pro x = -4 je y = -2

Tedy další bod grafu je [-4;-2]

Dosadím např.hodnotu 3 do předpisu funkce.

Pro x = 3 je y = 2

Tedy další bod grafu je [3;2]

---

Obrázek grafu ještě přidám

Mám tam chybu. Uělám to znova.

VKLÁDÁM ZNOVA, OPRAVENÉ

--------------------------------------------------

V předpisech zadaných lineárních funkcí jsou absolutní hodnoty. Tedy grafy daných funkcí jsou "zalomené čáry" . Počet zalomení je tolik, kolik je v předpisu absolutních hodnot.

a) V tomto grafu jsou dvě "zalomení".

b) c) v těchto grafech je jedno "zalomení"

-----------------------------------------------------------------------------------

řešení a)

Předpis funkce je y = /x/ - /2 - x/

"Vnitřky" absolutních hodnot dám rovno 0 a tak vypočítám body, ve kterých je graf funkce "zalomen".

x = 0

2 - x = 0

2 = x

--

Graf funkce je "zalomen " v bodech 0 a 2

Vznikly tak tři intervaly

( - nekonečno, 0)

( 0; 2)

(2 ; nekonečno)

Na těchto jednotlivých intervalech ("úsecích" ) je graf funkce "rovná čára".

--

Dosadím hodnotu 0 do předpisu funkce:

y = /x/ - /2 - x/

y = /0/ - /2 - 0/ = -2

Tedy jeden bod grafu je [0;-2]

--

Dosadím hodnotu 2 do předpisu funkce:

y = /x/ - /2 - x/

y = /2/ - /2 - 2/ = 2

Tedy další bod grafu je [2;2]

---

Dosadím další dvě hodnoty do předpisu funkce (libovolně zvolené, ale tak, aby byly z krajních intervalů)

Dosadím např.hodnotu -4 do předpisu funkce:

y = /x/ - /2 - x/

y = /-4/ - /2 +4/ = 4 - 6 = - 2

Tedy další bod grafu je [-4;-2]

Dosadím např.hodnotu 3 do předpisu funkce:

y = /x/ - /2 - x/

y = /3/ - /2 - 3/ = 3 - 1 = 2

Tedy další bod grafu je [3;2]

b) c) V těchto grafech je jedna absolutní hodnota a proto je v grafechtěch funkcí jedno "zalomení"

-----------------------------------------------------------------------------------

Řešení b)

Předpis funkce je y = /x - 2/ + 3

"Vnitřek" absolutní hodnoty dám rovno 0 a tak vypočítám bod, ve kterém je graf funkce "zalomen".

x - 2 = 0

x = 2

--

Graf funkce je "zalomen " v bodě x = 2

Vznikly tak dva intervaly

( - nekonečno, 2)

(2 ; nekonečno)

Na těchto jednotlivých intervalech ("úsecích" ) je graf funkce "rovná čára".

--

Dosadím hodnotu 2 do předpisu funkce:

y = /x - 2/ + 3

y = /0/ + 3 = 3

Tedy jeden bod grafu je [2;3]

Dosadím další dvě hodnoty do předpisu funkce (libovolně zvolené, ale tak, aby byly z obou intervalů)

Dosadím např.hodnotu -3 do předpisu funkce:

y = /x - 2/ + 3

y = /-5/ + 3 = 5 + 3 = 8

Tedy další bod grafu je [3;8]

Dosadím např.hodnotu 3 do předpisu funkce:

y = /x - 2/ + 3

y = /1/ + 3 = 4

Tedy třetí bod grafu je [3;4]

oprava:

Tedy další bod grafu je [-3;8]

a)

Rovnice pro interval ( - nekonečno, 0) je y = - 2

Rovnice pro interval ( 0; 2) je y = 2x - 2

Rovnice pro interval (2 ; nekonečno) je y = 2

---------

b)

Rovnice pro interval ( - nekonečno, 2) je y = - x + 5

Rovnice pro interval (2 ; nekonečno) je y = x + 1

----------------

c)

Rovnice pro interval ( - nekonečno, - 2) je y = x

Rovnice pro interval (-2 ; nekonečno) je y = - x - 4