Jak vypočítat obsah a obvod obrazce?

Vypocet plochy:

Mozna existuje elegantnejsi reseni, mozna jsem to nekde zbytecne prekomplikoval, ale alespon to ukazuje, ze jde k reseni dojit i bez toho, ze by clovek dopredu poradne vedel co dela. Pouziju tedy nasledujici polopaticky postup odrezavani jednotlivych ploch, az zbyde to co potrebujeme:

---

1) Je evidentni, ze uloha je naprosto symetricka, takze muzeme resit pouze jednu jeji osminu (1/2 z jednoho oranzoveho obrazce) a celkovy vysledek pak bude samozrejme 8x vetsi nez to s cim pocitam.

Prvni obrazek ukazuje, jaky vyrez z celkoveho obrazu je nutno pomoci meho postup resit (mozna by to slo oriznout jeste na 1/2 sirky, ale to by uz asi nicemu extra nepomohlo).

Zaroven jsou natom obrazku zobrazeny hodnoty, ktere zname.

Tedy vodorovne r je vzdalenost mezi stredy dvou kruznic k1 a k2 a definuje celkovou sirku reseneho obrazce a svisle r definuje celkovou vysku reseneho obrazce.

Cela plocha Sc toho ctvercoveho obrazku je tedy r*r=r².

Sc=r².

Z teto cele plochy se zacnou odrezavat jednotlive dilci plochy az zbyde to, co hledame.

Z techto dilcich ploch je podle mne nejtezsi urcit velikost plochy S1, kterou jsem na obrazku vyznacil.

Mozna pro tuto plochu S1 existuje nejake jednodussi elegantni reseni, ale me ted zadne nenapada, tak na to pujdu jednym zpusobem, ktery me napadl.

---

2) Jak si tedy urcit plochu S1:

Na obrazku je 1/4 plochy kruhu k1 a to same plati pro kruh k2.

Cela plocha kruhu se bezne spocte jako π*r² a 1/4 z toho tedy je π*r²/4.

Tedy plochy tech dvou ctvrtkruhu k1 a k2 jsou:

Sk1=π*r²/4

Sk2=π*r²/4

Pokud tyto plohy Sk1 a Sk2 od celkove plochy Sc odstranime, zbyde S1.

Jednu z tech ploch muzeme odstrnit jednoduse:

Proste Sc-Sk1

Druhou uz ale nemuzeme jednoduse odecist, protoze obe kruhove plochy se prekryvaji a tedy bysme odecetli vic nez mame!

Musime si tedy urcit plochu prekryvu obou ploch (oznacime ji treba Sp) a o tuto plochu Sp pak zmensime Sk2 predtim, nez ho take odecteme od Sc.

---

Plochu Sp urcime nasledovne:

Na druhem obrazku je rovnostranny trojuhelnik, ktery ma vrcholy ve stredech obou kruznic a v pruseciku obou kruznic: Vsechny tri ramena jsou tedy r.

Rovnostranny trojuhelnik ma tu vlastnost, ze kazdy jeho vnitrni uhel je 60°. Nebo tez jinak vyjadreno π/3.

alfa=π/3

Na tretim obrazku je nakresleno, proc ten uhel alfa potrebujeme:

Jde nam totiz o vypocet plochy kruhove usece (oznacme si treba Su). To je ta vysrafovana cast plochy. Ta nam totiz definuje ono prekryti obou kruhu.

Kruhova usec se spocte podle vzorce, ktery si lze bud snadno odvodit, ale ktery lze take kdekoliv snadno vyhledat a do ktereho je potreba znat prave vrcholovy uhel a polomer kruhu:

Vrcholovy uhel je v nasem pripade prave 2*alfa=2*π/3.

Dosadime-li tedy do vzorce pro kruhovou usec, ziskame:

Su=r²/2*[2*alfa-sinus(2*alfa)] = r²/2*[2*π/3-sinus(2*π/3)]

a protoze plati, ze sin(π/3)=sin(2*π/3)=√3/2, tak

Su=r²/2*(2*π/3-√3/2)

Toto je plocha cele jedne usece. My potrebujeme pouze pulku jeji vysky, ale zase ji potrebujeme dvakrat (i pro druhy kruh).

Tdy Su je zaroven i hledana plocha prekryvu Sp obou kruhu!

Su=Sp

Kdyz tedy zname plochu prekryvu, muzeme si konecne spocitat malou plochu S1:

S1=Sc-Sk1-(Sk2-Sp)=Sc-Sk1-Sk2+Sp=r²-π*r²/4-π*r²/4+r²/2*(2*π/3-√3/2)

S1=r²*[1+1/2*(2*π/3-√3/2)]

---

3) No a kdyz uz zname S1, muzeme snadno zjistit oranzovou plochu kterou hledame.

Jednoduse tak, ze od plochy celeho ctverce Sc odecteme plochu Sk2 a S1.

Sc-Sk2-S1=r²-π*r²/4-r²*[1+1/2*(2*π/3-√3/2)]

r²*|1-π/4-[1+1/2*(2*π/3-√3/2)]|

A pro kompletni vyreseni zadane ulohy uz toto pouze zbyva 8x zvetsit, jelikoz jak sme si na zacatku rekli, resili sme 1/8 puvodniho zadani.

Tedy 8*r²*|1-π/4-[1+1/2*(2*π/3-√3/2)]|

(mozna to lze jeste pokratit a trochu ucestat, ale to uz je vedlejsi).

A uz samozrejme vidim, kde jsem to naprosto zbytece prekomplikoval.

Kdyz zjistime plochu prekryvu tech dvou ploch, tak ji staci odecist od te 1/4 plochy kruhu a mame vysledek.

S1 ani Sc neni vubec potreba zjistovat.

Ale alespon se zde ilustruje nazorny priklad a postup, jak se doiterovat k co nejjednodusimu reseni bez toho, ze jej dopredu zname.

Zdravím. Obvod jedné vybarvené "příšerky" tvoří 3 shodné oblouky kružnice (jež má poloměr r). Tomuto oblouku přísluší středový úhel 60°. (Trojúh. SBD je rovnostranný-strany má o velikosti r, vnitřní úhly má tedy 60°). Délka toho oblouku je 1/6 délky celé kružnice (jako je 60° jednou šestinou 360°), tedy (2*π*r)/6 – pro určení délky oblouku lze použít i vzorec (2*π*r*&alpha/360; "příšerka" má tři oblouky, tedy krát tři, vyjde π*r, v obrázku jsou celkem 4 "příšerky", jejich celkový obvod je 4*π*r.

To je docela zajímavá úloha.

Nemám teď čas to řešit. Možná sem dám řešení večer nebo zítra.

Ten obrazec je "čtvercový", tedy je osově symetrický "do kříže", tedy je osoově symetrický i dle osy x, i dle osy y (když je střed souřadnic umístěn do středu obrazce). Asi by bylo jednodušší tu úlohu řešit tak, že ten obrazec by byl rozdělen na čtyři symetrické části ( tím "křížem" uprostřed). Nálsledně lze spočítat jednu tu vybarvenou část. Tento spočítaný obsah pak vynásobit 8 krát.

Tedy ten velký čtverec rozdělit na čtyři stejné čtverce, jejichž délka strany je 2r.

V tom menším čtverci je ta osmina celkové plochy (kterou počítáme) vymezena dvěma kruhy.

Ten čtverec rozdělím na dvě poloviny, takže vznikne obdélník.

Dvojnásobek plochy toho obdélníku je roven součtu ploch těch půlkruhů (tedy ploše celého kruhu) plus čtyřnásobku té vybarvené plochy (která je na spodním obrázku toho mého vloženého obrázku).

Je potřeb spočítat velikost té vybarvené plochy , a od rozdílu velikostí ploch toho obdélníčku a plochy půlkruhu odečíst velikost té vybarvené plochy.

Tak můžem vypočítat velikost osminy té plochy, kterou je potřeba spočítat.

Co se týká počítání toho obvodu, tak to lze taky udělat rozdělením na osminy.

Možná takto - spočítat souřadnice průsečíku těch dvou kruhů (v tom menším čtverci) a dopočítat úhel a spočítat délku části obvodu atd.

Možná je i jednodušší způsob.

Zdravím. OBSAH: Když od obsahu kruhu (poloměr r) odečteme obsah jeho čtyř shodných kruhových úsečí (s příslušným středovým úhlem 120°), zbyde obsah dvou vybarvených obrazců – "příšerek". Pro určení obsahu všech čtyřech pak stačí obsah dvou vynásobit dvěma... Obsah úseče (bez speciálního vzorce): obsah výseče ( úhel i poloměr stejný jako u zkoumané úseče) mínus obsah trojúh. ABS. Trojúh. BSD je rovnostranný, jeho výška BE=(r*√3)/2; AB(strana trojúh. ABS)=2*BE= r*√3; obsah trojúhelníku ABS=(AB*SE)/2=(r²*√3)/4; obsah výseče se středovým úhlem 120°je: (π*r²)/3; obsah úseče(obsah výseče mínus obsah trojúh. ABS): (π*r²)/3 - (r²*√3)/4 = (4* π*r² - 3* r²*√3)/12; obsah čtyř úsečí: (4* π*r² - 3* r²*√3)/3; obsah dvou "příšerek" (od obsahu kruhu odečíst obsah čtyř úsečí): (π*r²) - (4* π*r² - 3* r²*√3)/3 = (3* r²*√3 - π*r²)/3; obsah všech čtyřech vybarvených obrazců ("příšerek"): (6*r²*√3 -2* π*r²)/3 nebo 2*r²*√3 –(2* π*r²)/3 nebo 2*r²*(√3- π/3)....