Nejste přihlášen/a.
Jde o dvojný integrál, ktrerý lze počítat třeba Fubiniovou větou , ale jako výhodnější zde vidím větu o substituci:
Věta: o substituci
Necht V, W jsou otevřené množiny v R2.
Necht g: V -->W zobrazuje V na W a je regulární a prosté.
Necht Dg(r,t) je determinant Jakobiho matice.
Potom platí
Aplikoval bych polární substituci
x = r cos t
y = r sin t
pro kterou Jakobián Dg(r,t) = r a t probíhá čísla z intervalu délky periody , tedy například interval <0,2>, a r probíhá nezáporná reálná čísla. Pravda, počátek (tedy r = 0) představuje singularitu, ale to nás nemusí vyrušovat, nebot v naší oblasti neleží. Naše zadaná oblast je vymezena podmínkami R1<r<R2, 0 <t <π a funkce f má po substituci jednoduchou podobu f(r,t)= (sin t)/r².(Zapsal jsem oblast pomocí ostrých nerovností, aby byla otevřená.) Což snadno zintegrujeme Fubiniovou větou.
Dopočtete to už?
F. větu najdete zde. Výpočet tedy vede na to, že integrujeme sin t dt od nuly do π, dr/r² od R1 ndo R2 a výsledky znásobíme.
Ano a ne. Jistě, je to jako celek (r sint)/[ (r^2)^3/2],ale po úpravě (zkrácení a odmocnění) z toho bude právě to (sin t)/r².
A ještě: ono tamv tom mém řešení se ztratila část, kterou jsem se tam pokoušel vkopírovat z tohoto texu. Původně jsem to tam viděl, ale posléze vypadlo to, co je v tomto odkazu žlutě zvýrazněno hned za tím
" potom platí".
Tak si to doplňte. Zkusím to ještě vložit jako obrázek, jestli se mi to povede,
Zkusil jsme to napsat. Možná je to tak, jak jsem to napsal. Ale možná jsme to napsal zcela chybně.
Nevím. Je to jen pokus.
Vypočítat objem V1. Následně vypočítat objem V2.
A pak spočítat rozdíl V1 - V2
Otázka ale samozřejmě je, jak případně spočítat tu samotnou integraci.
Možná substitucí
t = y2
dt = 2y dy
To je integrace funkce dvou proměnných. Už si to řešení přesně nepamatuju. Výsledkem by měl být objem, tedy za výsledkem by měla být uvedena "jednotka"j3
Je asi potřeba to nejdřív zintegrovat dle jedné proměnné (tedy druhá proměnná bude brána jako konstatnta ) a "mezivýsledek"pak zintegrovat dle druhé proměnné (přičemž ta první proměnná bude brána jako konstanta) - a tu křivku (kterou je vymezen ten rozsah integrace (meze integrace)) je asi potřeba vyjádřit funkcí.
Tady jsou odkazy na soubory, kde jsou řešeny příklady funkce dvou proměnných
Zde opakuji odpověď s vloženým obrázkem:
Jde o dvojný integrál, ktrerý lze počítat třeba Fubiniovou větou , ale jako výhodnější zde vidím větu o substituci:
Věta: o substituci
Necht V, W jsou otevřené množiny v R2.Necht g: V -->W zobrazuje V na W a je regulární a prosté.
Necht Dg(r,t) je determinant Jakobiho matice.
Potom platí(viz přiložený obrázek)
Aplikoval bych polární substituci
x = r cos t
y = r sin t
pro kterou Jakobián Dg(r,t) = r a t probíhá čísla z intervalu délky periody , tedy například interval <0,2>, a r probíhá nezáporná reálná čísla. Pravda, počátek (tedy r = 0) představuje singularitu, ale to nás nemusí vyrušovat, nebot v naší oblasti neleží. Naše zadaná oblast je vymezena podmínkami R1
Naše zadaná oblast je vymezena podmínkamiR1<r<R2, 0 <t <πa funkce f má po substituci jednoduchou podobu f(r,t)= (sin t)/r².(Zapsal jsem oblast pomocí ostrých nerovností, aby byla otevřená.) Což snadno zintegrujeme Fubiniovou větou.
Dopočtete to už?
F. větu najdete zde.Výpočet tedy vede na to, že integrujeme sin t dt od nuly do π, dr/r² od R1 ndo R2a výsledky znásobíme.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.