Objem kvádru

Zdravím.

I mne dovedl cos 45°, cos 60° a Pythagorova věta k zde již zveřejněným rozměrům zkoumaného kvádru: 10 cm, 10 cm a 14,14 cm ...

Přes goniometrické funkce.

Oznacme "a" a "b" strany podstavy kvadra, "c" nech je vyska. Telesova uhlopriecka zviera s vyskou "c" uhol 45 stupnov, to ani nemusim ratat a uhlopriecka dolnej podstavy je tiez "c" lebo trojuholnik je rovnoramenny. Cize c = telesova uhlopreicka / odmocnina z 2 = 20 / 1.41 = 14.18 cm

Vzdy si uvedomte, ako mate trojuholnik, kde telesova uhlopriecka je prepona, nejaka strana kvadra je jedna odvesna a druha odvesna je uhlopriecka jednej zo stien. Z toho vyjadrite cez sinus velkost prislusnej strany.

Tady je odkaz na soubor, kde je obrázek kvádru a kde jsou vyznačeny úhlopříčky v kvádru:

mendelova.cz/...

V zadaném kvádru tělesová úhlopříčka kvádru svírá s hranou c (tedy s výškou kvádru) úhel 45 stupňů.

Tedy daný pravoúhlý trojúhelník je tvořen tělesovou úhlopříčkou, stěnovou úhlopříčkou (stěny podstavy hran a,b) a výškou c.

Použiju pythagorovu větu a funkci sinus:

c² + (u_s)² = (u_t)²

(u_s) děleno (u_t) = sin 45

(u_s) děleno 20 = 0,707

u_s = 0,707 krát 20 = 14,14 cm

i c = 14,14 cm

a² + b² = (u_s)²

Tedy délka stěnové úhlopříčky podstavy hran a,b je 14,14 cm

Dosazením do rovnice pythagorovy věty (nebo funkcí cosinus) dopočítat délku c

c² + (14,14)² = 20²

c = 14,14 cm

---

Jiný pravoúhlý trojúhelník je ten, jehož strany jsou:

u_t

a

stěnová úhlopříčka podstavy stran b,c (označím jí u_s1)

a² + (u_s1)² = (u_t)²

(u_s1)² = b² + c²

(u_s1) děleno (u_t) = sin 60

[odmocnina z (b² + c² )] děleno (u_t) = sin 60

[odmocnina z (b² + c² )] děleno 20 = 0,866

[odmocnina z (b² + c² )] = 17,32

b² + c² = 300

Dosadím 14,14 za c

b² + 200 = 300

Z toho vyplývá, že b = 10 cm

a² + b² = (u_s)²

a² + 100 = 200

Tedy taky a= 10 cm

Dosadit do vzorce pro objem

V = a krát b krát c

Možná jsem v tom příkladě udělal nějakou početní chybu. Nemám dnes čas to kontrolovat.