Rovnice tečny, slovní úloha s obrázkem

Zdravím,

tečna ke grafu funkce je přímka o rovnici y = kx + q, kde k je směrnice.

Z definice derivace plyne, že derivace (v daném bodě) je rovna směrnici tečny v tomto bodě.

Nejdřív bych tedy vypočítal derivaci v bodě π/4.

Příklad 2. Hrany krabice vyjádříme pomocí x. Objem krabice je funkcí x, hledáme její maximum - derivujeme a derivaci položíme rovnu nule.

Dám sem řešení večer, možná až po 21. hod.

Je potřeba to udělat pomocí derivace

Chtěl jsem napsat řeení včera večer, ale usnul jsem. Ani teď na to nemám čas, tak snad třeba za hodinu.

Př.11)

Rovnice objemu krabičky je

V = (12 - 2x) krát (12 - 2x) krát x

Po roznásobení je rovnice objemu takto

V = 4x³ - 48x² + 144x

Nyní je potřeba tu rovnici zderivovat

V´ = 12x² - 96x + 144

Dát derivaci rovno 0

0 = 12x² - 96x + 144

0 = x² - 8x + 12

Dopočítat x dle vzorce pro kvadratickou rovnici nebo Vietovými vzorci

12 lze rozložit na 2 krát 6

x₁ = 2

x₂ = 6

Dosadit do vzorce pro V = ...

Jestliže po dosazení jedné z hodnot vyjde větší hodnota, tak to je řešení.

V tomto příkladě je evidentně řešení x = 2

x = 6 nemůže být řešení už na první pohled, protože při takovém rozměru by nebylo možné sestavit krabičku

Př. 10)

Rovnice tečny ke grafu funkce v nějakém bodě je např. v souboru, na který dávám odkaz

dagles.klenot.cz/...

Tedy rovnice je :

y - y₀ = f´ (x₀) krát (x - x₀)

Zadaný bod, který je na tečně, je [ x₀ ; y₀ ] tedy [ π/4 ; tg π/4 ]

tg π/4 je 1

tedy

x₀ je π/4

y₀ = 1

Zadaná funkce je y = tg

Derivace zadané funkce je f´ (x₀) = 1 / cos² (x)

viz. soubor, na který dávám další odkaz

cacapa.wz.cz/...

Do derivace funkce dosadit hodnotu x₀

f´ (π/4) = 1 / cos² (π/4)

f´ (π/4) = 1 / cos² (π/4)

cos (π/4) je (odmocnina ze 2) / 2

f´ (π/4) = 2

Nyní zbývá dosadit do vzorce tečny a upravit

y - y₀ = f´ (x₀) krát (x - x₀)

y - 1 = 2 krát (x - π/4)

y - 1 = 2x - π/2

Rovnice tečny je: y = 2x - π/2 + 1