Nejste přihlášen/a.
Zdravím, rozumí někdo srovnávacímu kritériu? Potřeboval bych poradit a vysvětlit na příkladech.
Máme ve skriptech dva typy.
1) limitní stovnávací kritérium - to dám do jmenovatele nějakou řadu, o které vím, že konverguje či diverguje a určím limitu. Viz. obr.
Limitním jsem zkusil (až na dva) vypočítat, ale nevím, zda je to dobře.
2) srovnávací kritérium - buď se budu snažit dokázat, že diverguje nebo konverguje. Pokud chci dokázat, že konverguje, tak hledám nějakou vyšší řadu, která konverguje, že?( od nějakého n?)
Např. Př. 13) (na obr. dokazuju divergenci), ale pak jsem se rozhodl dokázat konvergenci a srovnat s řadou 1/n2. Dosadil jsem např. 100000 a vyšla mi nerovnost, že tahle řada 1/n2 je větší nebo rovna té zadané. Tudíž by měla konvergovat.
Pozn. Hodnota ve jmenovateli je větší, než . V čitatelích je jednička a čím menší jmenovatel, tím větší hodnozta zlomku že?
U zbylých s goniometrickými funkcemi, nevím s čím srovnat, tam mi ty nerovnosti nevychází)
To je hodně otázek najednou. Tak pro začátek k tomu srovnávacímu kriteriu: studujete podíl členů dvou řad: jednak té, o kterou vám jde, a dvak nějaké té pomocné, testovací. Ale kterou dáte do jmenovatele, to záleží na tom, zda dokazujete konvergenci či divergenci zkouimané řady. Snažíte-li se dokázat konvergenci, musíte studovanou řadu an dát do čitatatele a do jmenovatele dáte vhodnou "porovnávací" konvergentní řadu.Dokazujete-li divergenci, pak testovací divergentní řadu potřebujete dostat do čitatele. (A spočítat limitu podílu; ideální je, je-li konečná a nenulová. Pro konvergenci stačí, aby byla konečná, pak ředa v čitateli se nemůže moc vzdálit od té konvergentní jmenovatelové a tedy taky konverguje. Naopak pro divergenci stačí, aby limita byla kladná a protože testovací divergentní řada ja v čitateli, tak ta testovaná řada nemůže být podstatně menší než ta testovací a nemůže "přeprat její divergentnost", heuristicky řečeno; důkaz je v textu, který sám uvádíte.)
Pardon, beru zpět. Jde o výpočet limity podílu an/bn = L, a pokud tato limita je konečná a nenulová.jsou obě řady co do konvergence či divergence ekvivalentní.Takže je jedno, kam kterou dám a pro zjednodušení budu tedy zkoumanou ředu dávat do čitatele.Pokud ovšem L = 0 či Lnekonečné, jeto jinak. Pak kdubych dal zkoumanou řadu do jmenovatele, tak by to nebylo totéž jako kdyby byla v čitaeli, mohl bych to trochu rozepratale zbytečně bych to komplikoval. Prostě znění limitního kriteria máte dobře; k těm příladúm se ještě vrátím.
U toho limitního, pokud chci dokázat konvergenci, tak tu studovanou dám do čitatele a do jmenovatele tu , okteré už vím, že je konvergentní. A to do toho jmenovatele nemohu dát i řadu, která diverguje v případě, že dokazuju, zda diverguje? Já totiž dávám do čitatele vždycky zadanou řadu a do jmenovatele nějakou porovnávací. Viz. ty příklady.
Ale já zase něco popletl, nevím, jak jsem na to přišel. V zásadě je třeba počíátat limitu an/bn. Připomínám, že počítáme řady s nezápornými členy. No a pokud tato limita je kladná a konečná, pak se obě řady chovají stejně co do konvergence. Rozdíl můýe nastat při nolové či nekonečné hodnotě L. Takže omluva.
Tak teď k těm příkladům.
Krom limitního srovnávacího krriteria používáte i nelimitní, tak ho připomenu (a upřesním). K důazu konvergence řady an potřebuji najít konvergentní majorantu bn, tedy (konvergentní) řadu, pro kterou platí, an ≤bn (počínaje nějakým n0, ne snad, že by ta majoranta konvergovala od toho indexu, ta buď konverguje, nebo ne).
K důkazu divergence naopak potřebuji najít dibergentní mitnorantu bn, pro kterou platí bn≤an (pro skoro nšechna n).
(Tady je asi kořen toho mého původního nepřesného tvrzení, ale stejně se stydím.)
Vy jste řešil 5,6,4,2,15 limitním ktiteriem dobře. 13, 7, 6 zřejmě zkoušíte nelimitním ktiteriem a tam jsou nejasnosti. 6 divereguje, ale ta nerovnost , kterou používáte, je k ničemu. Ta by totiž říklala, že 1/n divergentní majoranta a z toho nic neplyne; zkuste limitní ktiteroum. Ty zbylé ggoniometrické řady zkuste limitním ktiteriem. Protože argument té goniometrické funkce se vždy blíží k nule, tak ona se limitně chová,, jako by tam nebyla.
Příklad 7 je dobře, ale třináctka je divně.
V pokusu o důkazdivergence používáte nerovnost, o níž sám říkáte, že neplatí, a tedy z ní nic neplyne. A ten druhý pokus? Kde jste přišel na to,že 1/n² je majoranta? Dosazení jediného čísla nestačí, promysleteto ještě
Tak nejdříve k Př. 6..rozhodl jsem se (ono už jsem spíš věděl, podle limitního srovnávacího kritéria, že by mohla divergovat), že budu dokazovat divergenci. Tedy jsem zkusil tu řadu 1/n, která diverguje. Zde ta nerovnost vlastně nevyšla, tak jak uvádite. Tedy , když to vyjde takto, tak co obvykle dělat? Já bych asi teda zkusil srovnat s nějakou konvergentní řadou a dokázat konvergenci. Tam by ta nerovnost taky nevyšla tedy.
Př. 13 Dokazoval jsem divergenci, ale z té rovnice, tedy nic nevyplynulo. Pak jsem teda chtěl dokázat konvergenci porovnáním třeba s řadou 1/n² a vyšla mi nerovnost viz. obr. Zkusil jsem dosadit 100 000.
Ještě doplním třeba př 4, který zde nemám.
Dokazoval jsem konvergenci srovnáním s řadou 1/n2. Dostal jsem nerovnici 1/n2 ≥ sin (π/n2 ). Tedy mi to říká, že konverguje?
No taku příkladu 6 samozřejmě nevyjde nerovnost 1/n < tg (1/n), ale podost velká n vyjde nerovnost 1/n < 2 tg(1/n), například, neboobecněji 1/n < k tg (1/n) pro nějaké h> 1, nakreslete si grafy. Ale jednodušší je počítat lim (tg(1/n)/ (1/n), ta vyjde rovna jedné. (když n jde do plus nekonečna, je to totéž, jako když x = 1/8n jde k nule zprava a limitu (tg x)/x pro x jdouci k nule spočítáte.)
K té třináctce? Znovu se ptám, jak vám vyšla ta nerovnost v rámečku? Netvrdím, že neplatí, a pokud dokážete její platnost, dokázal jste platnost konvergence, ale nelzeji dokázat dosazením jednoho čísla.(n = 10000000 nebo kolik.) Možná by šklo využít vztah n² = (e^ln n)* (e^ln n), co říkáte?
Nevím jak vyšla :D Tak jak vyšla :D Nelze ji dokázat dosazením jedním číslem? Já měl za to, co se týče toho srovnání s n^2, muselo by se dokázat, že počínaje nějakým n bude n^2≤(ln n)^ln n.
K příkladu 13: zkusil bych uvažovatr takkhle: rád bych dokázal, že řada se členy an = 1/n² je (konvergentní) majoranta, to jest chtěl bych dokázat nerovnost 1/n² ≥1:[ (ln n)^(ln n)] pro všechna dost velká n. Po roznásobení to dá
(ln n)^(ln n) ≥n*n
a platí n = e^ln n, takže nerovnost
[(ln n):e]^(ln n) ≥e^ln n
čili třeba ještě pravím na
[(ln n):e²]^(ln n) ≥1
což je jistě pravda pro [ln n):e²] ≥1 čili pro n ≥ e(e²) .
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.