Otázka- příklad pravděpodobnost

Odkaz na teorii kombinace je tady

gymklob.info/...

Zkusil jsem to pomocí neznámých-

--------------------

Celkem možností, jak vybrat dvě kuličky , je

K (2 , x + y) = 1/2 krát (x + y) krát ( x + y - 1)

Počet kombinací, při jejichž výběru jsou různé barvy kuliček, je x krát y

Počet kombinací, při jejichž výběru jsou stejné barvy kuliček je

K (2 , x ) + K (2 , y ) = 1/2 krát x krát (x - 1) + 1/2 krát y krát (y - 1)

P₁ = x krát y děleno [1/2 krát (x + y) krát ( x + y - 1) ]

P₂ = [1/2 krát x krát (x - 1) + 1/2 krát y krát (y - 1)] děleno [1/2 krát (x + y) krát ( x + y - 1) ]

1/2 krát (x + y) krát ( x + y - 1) = x krát y

x = y + m

1/2 krát (y + m + y) krát ( y + m + y - 1) = (y + m) krát y

1/2 krát (2y + m) krát ( 2y + m - 1) = (y + m) krát y

1/2 krát (4y² + 2ym - 2y + 2ym + m² - m) = y² + ym

2y² + ym - y + ym + 1/2m² - 1/2m = y² + ym

y² + (m-1)y + 1/2m² - 1/2m = 0

D = (m-1)² - 4 krát (1/2m² - 1/2m)

D = m²- 2m + 1 -2m² + 2m

D = - m²+ 1

m = 1

Z toho by vyplývalo, že počet modrých kuliček je o 1 víc než počet bílých kuliček (kromě toho případu, kdy počet bílých kuliček je 1)

Nevím, jestli to mám správně

To byl jen pokus . Takto je to chybně.

1/2 krát x krát (x - 1) + 1/2 krát y krát (y - 1) = xy

1/2 krát x² - 1/2x + 1/2 krát y² - 1/2y = xy

x = y + m

1/2 krát (y + m)² - 1/2(y+m) + 1/2 krát y² - 1/2y = (y+m) krát y

1/2 krát y² + ym + 1/2 m² - 1/2y - 1/2 m + 1/2 krát y² - 1/2y = y² + ym

1/2 m² - 1/2 m - y = 0

m² - m - 2y = 0

D = 1 + 8y

Za y dosadit taková čísla, aby byl číselný výsledek mocninou nějakého čísla

Určitě to může být y = 1

Tuto variantu napsal Kartaginec

Jestli jsou další varianty, to nevím

doplněno 27.04.20 01:33:

m je rozdíl, o kolik je počet x větší než počet y

Další varianta by mohla být y = 3

Pravděpodobnost je podíl příznivých případů ku všem.

Nám ovšem nejde o přesnouhodnotu pravděpodobnosti, ale o to, zda jsou dvě zkoumané pravděpodobnosti stejné. čili zda ne stejný počed případů, kdu vytáhneme jednu bílou a jednu modrou (což je x*y; proč?) jako těch, kidy vytáhme nad obě bílémodré (což je x nad dvěma, číselně ½x*(x-1) – prostě kombinace) nebo obě bílé, což je ½y*(y-1) čili y nad dvěma(ale pozor, to není vždy pavda; co když je y = 1?)

Takže nejprve zvažme ten pípad y = 1. Tehdy je xy = x, a kolik je případů, kdy obě kuličky jsou stejné barvy? Spočtěte a vyjde vám nakonec to řešení x = 3, y = 1.

No a co případ y> 1? zkuste aspoň napsat příslušné vztahy. Zdá se mi, že nebudou mít celočíselné řešení, ale zatím nevím, jak to dokázat. Ale musí v tom být nějaký prostý trik. BTW jaký ke původtohoto příkladu, tj. jekým předpokládaným znalostem odpovídá?

Pokusím se o další rozbor.

Tak především @lopezz vtipně použil obrat x =y + m a ta poslední úprava, kdy nakonec dospěl k rovnici m² - m - 2y = 0 s diskriminantem D = 1 + 8y, vede k použitelným postupům. Ku podivu vede k řešení i pro y = 1, kdy je striktně vzato nekoroktní. Proč? Jak uvádí lopezz někde výš, počet možností, kdy vytáhno kuličky stejné barvy, je K (2 , x ) + K (2 , y ). Ale pro y = 1, kdy počítám kombinace dvou prvků z jednoho, není kombinační číslo definované. Mělo by být , formálně vzato, K(2,1) = 1!/(2!*[-1]!), což nedává smysl. Naštěstí "upravené kombinační číslo" ½y*(y-1) smysl má a rovná se nule, takže odpovídající rovnice pak je ½x(x-1) = x, která má řešení x = 3 (a samozřejmě y =1). Já jsem tento případ řešil samostatně, leč, jak je vidět, nečekaně je zahrnut i do obecného postupu.

Mimochodem, při nějakých pokusech jsem dospěl také k rovnici se stejným diskriminantem, ale příslušný postup nebyl dost obecný, a vůbec to bylo moc komplikované., takže jsem ho ani neuváděl. To píšu hlavně proto, že chápu to hafo lopezových pokusů a omylů, když on se nám svěřoval se všemi pokusy, i těmi slepými.

Nicméně od toho závěrečného pokusu je už jen krok k obecnému řešení, a v tomto okamžiku jen řeknu, že těch řešení není konečně mnoho a uvedu několik prvních:

x = 3, y = 1; x = 6, y = 3; x = 10, y = 6; x = 15, y ´10 atd.

úplné (podle mne ) řešení uvedu v samostatné odpovědi, to kvůli přehlednosti. Zde jen poznamenám, že je to řešení, rozvíjející lopezzovy rovnice, a ještě snad dodám to, co @lopezz neřekl explictně, ale používal to vlastně také, totiž že hledáme x a y přirozená.

x = 3, y = 1