Nejste přihlášen/a.
Zdravím všechny rádce. Syn chodí do osmé třídy a dostal na víkend několik matematických příkladů. Uvedu jeden z nich, další jsou podobné - dvě stejná čísla vynásobte tak, aby byl výsledek 300. Mělo by to vyjít přesně, ale nevíme si s tím rady, Zkoušeli jsme to vícekrát přes kalkulačku a postupně jsme se dostali k číslu 17,3205085. Není to ale rovných 300, například 3205085 x 3205085 = 300,00001469857225. U menších čísel jsme se dostali pod 300. Podobných příkladů má spočítat více a nevíme jak na to. Díky za radu a (snad) jednoduchý postup.
s DOVOLENÍM PROVEDU KRÁTKÝ EXKURS O ČÍSLECH. a JEN NA OKRAJ: DÍVAL JSEM SE NA NĚJAKOU LÁTKU Z OSMÉ TŘÍDY A ZDÁ SE, ŽE SE TAM BEROU MOCNINY A TAKÉ DRUHÁ ODMOCNINMA, S TÍM BYCHO NAKONEC MĚLI VYSTAČIT. (Omlouvám se za capslock, už to nechám.)
Tak číslo je pojem sl/...než by se mohlo zdát. Ale co je možné vzít jako základ,jsou čísla , určující počet, tedy 1,2, atd, takzvaná čísla přirozená, i když z filosofického hlediska i to má své hlubiny. (Algebraik Leopold Kronecker se v 19. století proslavil výrokem: "Bůh stvořil přirozená číslaa všechna ostatní jsou lidským dílem.") Nicméně intuitivně je chápeme a myslím, že múžeme vzít za obecně známá i čisla cela, tedy 0, ±1, ±2, ±3..., i když k nule a záporným číslúm se lidstvo dopracovalo až později. No ale my je známe a počítat s nimi nedělá (tedy nemělo by dělat) problám ani školákům. Ti umějí celá čísla sečítat, odčítat, násobit, umějí některá i dělit a jak jsem zmínil, přinejmenším osmáci by měli umět i umocňovat na druhou, na třetí , zkrátka na přirozená čísla. Takže kdyby naše úloka zněla: "Jak vynásobením dvou celých čísel dostat přesně 400", jistě by nebyl problém odpovědět"No,400 = 20*20"a popkročilý žák dodá: "nebo i (-20)*(-20)"
Teď k dělení: 6:2 = 3, ale co 6:4 nebo 1/3? To už celočíselně nevyjde. Takovým výrazům říkáme zlomky a jistě jsme slyšeli, že "zlomek je naznačené dělení".Souhrnu všech takových čísel říkáme racionální čísla (z latinského ratio- poměr) a múžeme s nimi počítat buď ve tvalu zlomku, nebo naznačené dělení provést. Ve tvaru zlomku by neměl být problém, jen například připomenu, že (a/b)*(c/d) = (ac)/(bd). Takže tam nám násobení vyjde vždy přesně. Třeba tři násobeno jednou třetinou je :3*(1/3)= 1, Ale,pokusíme-li se "naznačené dělení "provést, už to nebude tak jednoduché. Třeba 1/4 = 0,25, takové číslo se liší od celých čísel tím, že má něco za desetinnou čárkou, ale toněco je konečný počet cofer a s tím si při dalším násobení či sčítání poradíme. Ale co 1/3? Již jste zmiňoval, že 1:3 = 0,33333..., a tenhle zápis nikdy nebude ukončen a na otázku "kolikj je jedna třetiná násobená třemi, ale přesně"nemúžete počítat 1*0,33333... = 0.99999..., protože to nikdy nebude přesně. Musíte se vrátit k naznačenému dělení a k zápisu 3*(1/3)= 1.
No, u racionálních čísel si takhle poradíme vždycky. Máme-li je zapsána jako zlomek (a to jde vždy), není problém. Máme-li pro ně desetinný rozvoj, ten sice může být nekonečný, ale vždy je periodický, třeba 0,02356356356356... s periodicky se opakujícím 358 a v každém případě ho lze zapsat jako zlomek. (Do podrobností, jak to uděla, nepůjdu, ). Ale jsou i čísla,která v desetinném rozvojí žádnoui periodu nemají. Taková čísla se nazývají iracionální a klasickým příkladem je odmocina ze tří, kterou osmáci znají, a jejíž desetinný rozvoj začíná 1,732..., ale budenekonečný a nebode periodizcký.Tedy odmocnina se NEDÁ napsat ve tvaru zlomku s celými čísly v čitateli i jmenovateli a my jsme v situaci vašeho zadání. Takže například na otázku : jak napsat 3 jako součin dvou stejných čísel , ale přesně"nelze jít cestou zápisu √3= 1,762... a případného dalšího jeho prodlužování, Jistě, teoretizky lze libovolně dlouhá takový zápis vynásobit s drukým takovým zápisem vynásobit přesně, ale protože to bude spřesný součin nepřesných čísel, výsledek nebude nikdy přesně 3- Takže jako jsme se u racionálních čísel vraceli od rozvoje k zlomku, taki zde je třeba se vránit od rozvoje, ale ne ke zlomku, ten k dispozici nemáme, ale k tomu, y čeho ten rozvoj vznikl, tedy k odmocnině.
To je to podstatné, co jsem chtěl napsat. Zkusím ještě něco nadhledu. Myslím, že to zadání nechce po žáku, abu dvě šísla násobil tak, aby jejich součin byl přešně sto, (součin je dán jednoznačně a nelze ho ovlivňovat), ale přimět žáka k přesnému vyjádření odmocniny ze tří set. Takže by odpověď asi měla být: Ta číasla jsou 10*√3 a platí (10*√3)*(10*√3)= (10*10*√3*√3) = 100*10*(√3)² = 300 (nebo tak nějak,).
Good luck!
Připomínám, že osmáci by druhou odmocninu měli znát, už proto, aby mohli používat Pythagorovu větu. Nevím, nakolik vědí o tom, že je ta odmocnina ze tří (ze dvou, obecně z čehokoli, co nelze odmocnit "celočíselně¨ ) iracionální, ale tady by právě ty pokuzné rozvoje mohly sloužit jako motivační pokusy, které nás nakonec donutí ke správnému "přesnému" zápisu.
Vycházím z toho, že zadání je správné. Ten kdo zadal tento příklad chtěl řešitele dotlačit k jednoduchému řešení (např. mnou navrženému). A aby tuto cestu k řešení potvrdil, tak těm, kteří vidí řešení pouze použitím odmocnin dal výsledkem (iracionální číslo) najevo, že by mohli hledat jinde. Ale uvidíme to zadání
Díky všem za rady, počítání s odocninou nám pomohlo. Nakonec jsme ještě vyzkoušeli další možnosti na internetových kalkulačkách, kde to vychází přesně bez zaokrouhlení: 17,320 508 075 688 774 596 301 300 334 744 155 406 951 904 296 875 x 17,320 508 075 688 774 596 301 300 334 744 155 406 951 904 296 875 = 300.
Je mi líto, ale nemůže to vyjít přesně, když po vynásobení těch dvou dlouhých čísel vychází na posledním desetinném místě číslice 5
to nemůže vyjít přesně, pokud používáme desetinný rozvoj. 6e odmocnina za dvou není souměřitelná s jedničkou, věděli už staří Řekové, a pro odmocninu ze tří je to stejné. To, že vám to přesně vyšlo, je optický klam, prostězaokrouhlovací chyba se posunula daleko za konec toho použitého rozvoje, takže ta pětka, kterou uvádí Satam (a další nenulová čísla součinu) se posunula do oblastí, kde ro zaokrouhlování uřízlo.
Jinak ano, vásledek je přesně 300, pokud pracujeme s vyjádřením s e symbolem odmocniny.
A stejně jste neuvedl doslovné znění zadání, tak, jak to synovi napsal učitel.
Výsledek jsme zjistili na www.vypocitejto.cz a pak jsme to zkusili zpětně vynásobit. Vyšlo přesně 300. Ale je možné, že kalkulačka také zaokrouhluje. Syn to doplní do úkolu se zaokrouhlením, ale stejně by nás zajímalo, jestli výsledek může vyjít i bez zaokrouhlení. Třeba u některých čísel je to jasné: 20 x 20 = 400. Pro matematiky to bude asi hloupá otázka, ale proč by výsledek nemohl vyjít přesně i u čísla 300? Je to podobné jako s dělením, kdy například 20:6=3,33333...?
Vsledek je 300,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
a další číslice následojí až do konce úseku stejné délku jako je vypsáno, ještě chvéli tam možná budou nuly a úplně na konco bude ta satamova pětka
Včera jsem vám v poradila, abyste zaokrouhlil vysledek na 17,32. Nevím, jaké jsou osnovy pro 8.třídu, tak mě napadlo nehledat v tom nějaký velký problém a napsat co nejjednodušší výsledek. Ani mě nenapadlo, zkoušet sem psát výsledek, jako např. napsal nahoře kartaginec, možná se mýlím, ale myslela jsem si, že tohle bude patřit spíše do středoškolské matematiky.
V původním dotazu ale uvádíte: "dvě stejná čísla vynásobte tak, aby byl výsledek 300. Mělo by to vyjít přesně". Opravdu by pomohlo napsat sem doslova zadání od učitele, které jste dostali. Pokud to má vyjít "přesně", tak i když napíšete výsledek ve tvaru 17, a třeba 30 desetinných míst, pořád to nebude přesně. Pořád se to bude muset zaokrouhlit.
Přesně to vyjde v případě, že použijete nějaký zápis ve tvaru s odmocninou, třeba √300 krát √300, nebo to, co je napsáno v první odpovědi nahoře. To jsou výsledky, kdy to opravdu vychází "přesně".
Prosím vás ještě jedna věc v souvislosti s vaším posledním komentářem, kde řešíte, jak je možné, že u čísla 400 to vychází přesně 20x20 a ostatně vlastně i ten váš napad s násobením čísel s 50 desetinnými místy.
Z vašeho písemného projevu mám dojem, že jste inteligentní člověk, proto mě napadá, jestli nás tu tak trošku netaháte za nos. Protože buď jste opravdu člověk, který zapomněl z matematiky úplně všechno, což já osobně i takovéto lidi znám, jsou to profici ve svém oboru a matematiku na nic nepotřebují, nebo je správně možnost b.
Jsem hudebník a na konzervatoři jsme matematiku neměli. Hodně věcí jsem zapomněl a čísla jsou pro mě jednou velkou neznámou. Syn byl před uzavřením škol nemocný a tento úkol dostal opsaný od kamaráda. Učiteli možná po víkendu napíšu, ale asi bude mít v těchto dnech hodně práce s přípravami. Úkol odevzdáme a uvidíme.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.