Délka kružnice a obvod kruhu

Jelikož se tady důrazně doporučuje dávat sem celé řešení příkladů a nikoliv nějaký nápovědy, s čímž tedy naprosto nesouhlasím, musíš si počkat, až ti sem někdo napíše řešení.

Ale jistě se dá na internetu najít jak spočítat obvod kružnice opsané i vepsané.

Začněme kružnicí opsanou. Její střed leží na průsečíku os stran. V rovnostranném trojúhelníku jsou osy stran shodné s těžnicemi, s osami úhlů a také s výškami. Takže střed kružnice opsané bude v těžišti. Těžiště leží na třetině délky těžnice směrem k protější straně, ve vzdálenosti dvou třetin od výchozího bodu. Protože těžiště je středem kružnice opsané, a bod, ze kterého vychází těžnice, na kružnici opsané leží, bude poloměrem délka rovná dvěma třetinám kružnice.

Protože tyto těžnice jsou shodné i osami úhlů a střed kružnice vepsané je na průsečíku os úhlů, je těžiště také středem kružnice vepsané. No a strana trojúhelníka je tečnou této kružnice, a protože těžnice je shodná s výškou, je styčný bod právě na patě výšky. Což je ale ta zbývající třetina těžnice.

Takže poloměr kružnice opsané je roven dvěma třetinám těžnice = výšky trojúhelníka, poloměr kružnice vepsané jedné třetině výšky. Tedy je dvakrát menší.

No a kolik to je? Pokud má strana délku a, potom jedna ta těžnice/výška nám rozdělí rovnostranný trojúhelník na dva pravoúhlé, kde odvěsny jsou 1/2a a v, a přepona je a. Odtud z Pythagorovy věty

v^2 = a^2 - (1/2a)^2 = a^2 - 1/4a^2 = 3/4a^2

a po odmocnění v = sqrt(3)/2 a.

Poloměr kružnice opsané je pak 2/3 * sqrt(3)/2 * a = sqrt(3) /3 * a. Pro a=6 cm je to 2*sqrt(3).

Poloměr kružnice vepsané je pak 1/3 * sqrt(3)/2 * a = sqrt(3)/6 * a. Pro a=6 cm je to sqrt(3).

Připomínám, že sqrt(x) je zápis pro odmocninu z x