Obsah a objem trojbokého jehlanu

Tak začni, něco v hlavě máš, my se přidáme s nápovědou, opravou výsledku atd. Napřed musí být snaha a pak nastupují rádci.

Tak se podíváme prvně na povrch.

Pravidelný trojboký jehlan, tedy podstava je rovnostranný trojúhelník. Ten má stranu a. Obsah rovnostranného trojúhelníka je, jako u každého jiného trojúhelníka, strana krát výška děleno dvěma. Ale tento je rovnostranný, a tak jeho výška splývá s těžnicí. Takže když si ji nakreslíš, rozdělí ti ta výška/těžnice v trojúhelník na dva pravoúhlé. Odvěsny budou 1/2a, v, a přepona je a. Odtud z Pythagorovy věty (1/2a)^2+v^2=a^2, odkud v^2 = 3/4 a^2 a v = sqrt(3) / 2 * a (sqrt se značí druhá odmocnina).

No a obsah rovnostranného trojúhelníka je tedy a.v/2 = sqrt(3)/4 a^2.

Ted tři stěny - jsou to rovnoramenné trojúhelníky se základnou a a rameny b. Opět - obsah je strana krát výška, postupujeme vlastně obdobně, i u rovnoramenného trojúhelníka je výška na základnu a shodná s těžnicí a proto

(1/2a)^2 + w^2 = b^2 (w teď značím výšku v té boční stěně)

w^2 = b^2 - 1/4a^2

w = sqrt(b^2 - 1/4a^2)

obsah boční stěny je pak a*w/2 = a/2 * sqrt(b^2-1/4a^2)

ty boční stěny jsou tam tři a podstava jedna, všechno sečteme a dostaneme povrch jehlanu.

S = sqrt(3)/4*a^2 + 3/2*a*sqrt(b^2-1/4a^2)

Objem jehlanu je pak obsah podstavy krát tělesová váška jehlanu děleno třema. Tu tělesovou výšku označím třeba x.

Teď je nutno si představit pravoúhlý trojúhelník mající jednu odvěsnu v té tělesové výšce a přeponu v boční straně b. Ta druhá odvěsna spojuje střed podstavy (těžiště trojúhelníka) s jeho vrcholem. No a protože těžiště je ve dvou třetinách těžnice, a ta je dlouhá, jak už víme, sqrt(3)/2*a, tak dostáváme, že druhá odvěsna má délku 2/3 z tohoto, tedy sqrt(3)/3*a.

Takže zas Pythagoras:

(sqrt(3)/3*a)^2 + x^2 = b^2

1/3*a^2 + x^2 = b^2

x^2 = b^2 - 1/3a^2

x=sqrt(b^2-1/3a^2)

Objem jehlanu je pak obsah podstavy (což je sqrt(3)/4*a^2)*x/3, tedy

V = sqrt(3)/12*a^2*x