Nejste přihlášen/a.
y = 1/3 krát ln { x+1/ ( x^2 - x + 1)^1/2} + 1/3^1/2 krát{ arctg ( 2krát X -1/ 3^1/2)
y´´=?
můj výsledek.( 2 - x )/ 2krát ( x^2 - x + 1 )
doplněno 16.03.10 20:11:mohu požádat o kontrolu příkladu? samozřejmě že jde o y´ a ne y´´. díky.
To původní zadání bylo opradu poněkud složité a při derivování byste se odmocniny nijak nezbavil; znovu připomínám, že zlomková čára sice nahrazuje závorku, ale lomítko ne, takže to, co jste měěl na mysli, musíte zapsat
y = 1/3 krát ln { (x+1)/ ( x^2 - x + 1)^1/2} + 1/3^1/2 krát{ arctg (( 2krát X -1)/ 3^1/2)} (ostatně ve vašem zadání byla i syntaktická chuba - scházela zavírací závorka).
Takhle je to lepší, ale ten výsledek mi stejně zcela neodpovídá; mně vyšlo 1/(x² - x + 1)(x+1).
Jsou způsoby orientační kontroly, které mohou špatný výsledek naznačit, tak jako jsem (při špatném zadání, ovšem) soudil, že ve výsledku se musí vyskytnout odmocnina. Zde jste mohl přrdpokládat, že se va výsledku někde vyskytne 1/(1+x) jako derivace ln (1+x); i když takový předpoklad možná nemusíte pokládat za přesvědčivý, jako arování ho brát můžete.
(Pokud budete chtít, přidám scan výpočtu.)
tak jsem to přepočítal a máte pravdu. je to 1/(x+1)krát(x^2-x+1).
děkuji, pokud budu potřebovat tak se mohu na vás obrátit?
Ale ano. Jen nemohu slíbit, že budu mít vždy čas.
doplněno 17.03.10 23:04:A prosím prosím, matoucí zadání mi to dost komplikje (tedy myslím nepřesný zápis, špatné závorky a tak.
prominte, kdybych měl skener, bylo by to snadnější. příště se polepším. a děkuji.
doplněno 17.03.10 23:19:jenom taková faktická poznámka. vzorcr derivace se dají nějak odvodit?
Tak to jistě dají. Vyjde se z definice derivace, což je speciální limita, no a pak pracuji s vlastnostmi limity. Já jsem odkojen Jarníkem, tam to všechno je, ale samozřemě i v každé jiné učebnici, která není čistě typu "sbírka vzorců".
dobrý večer.
při integrování se používá substituce. v knize je popisovaná takto:
integrál F(x)dx substitucí
x=g(t)⇒d(x)=g´(t)dt
int. F(x)dx= int. F{g(t)} g´(t)dt
do výsledku za t pak dosadím inverzní funkci k funkci x=g(t)
příklad: int. {1/(a^2-x^2)^½ }d(x)
substituční rovnice je x=a krát sint
jak k tété substituční rovnici došli?
Ono substituční pravidlo má dva "konce". Tak jak to píšete, znamená, že umíme spočítat F{g(t)} g´(t)dt. Vyjde nějaká funkce arkumentu t, a pak za to t musíme skutečně dosadit tu inverzní funkci. Druhá možnost je, že máme spočítat F{g(t)} g´(t)dt, ale umíme spočítat
int. F(x)dx (tedy že to, co spočítat máme, už má speciální podobu, ve které je ta substituce jakoby "přichystaná") Pak po integraci int. F(x)dx vyjde funkce argumento x, a za x pak dosadíme rovnou to g(t). Tahle podoba je pro výpočet jednodušší, ale hodí se na speciální případy.
A teď k zadanému příkladu:Ten odpovídá tomu, jak jste to popsal vy, ale jak na tu substituční rovnici přijít - těžko říci. To chce chytrý nápad, který jednou někdo měl, a dnes jsou vypracována schémata, jak pro určité typy integrálů volit vhodnou substuituci. Tohle speciálně jsou integrály, které obsahují racionální funkce proměnné x a navíc právě výraz (a^2-x^2)^½. Vtip je v tom, že po dosazení se ta odmocnina změní na a cos t (pozor, opatrně s tím, k tomu napíšu něco zvlášt,) a protože derivací sinu je kosínus, za dx musíme také dosadit, tak nakonec dostaneme integrál ze sinů a kosínů. Na integrování takových funkcí jsou pak vypracovány metodu, ale tenhle příklad je volen tak, že vyjde jednoduše a celkem žádné další metody nepotřebujete.
A teď jdu venčit psa.
podle int. vzorců se dá int. přímo určit=arcsinx/a
ale hlava mě to nebere jak se dobrat ke stejnému výsledku tou substitucí.
No jo, a jak myslíte, že se určil ten vzorec? Cesty k němu jsou různé, jednou z nich je právě ta substituce.
Zkuste si ji dopočítat a uvidíte. (Není vám nápadné, že arcsin je právě v podstatě ta inverzní funkce k substituční rovnici? Po provedení výpočtu djdete k integrálu z jedničky, což je t a za to dosadíte arctg x (tedy pokud a je jedna, v obecném případě to chce po cestě trochu upravit)).
večer jsem byl unavenej, takže mě to přes den došlo. ale šlo by to i dez substituce podle vzorců integrálů, kde jsem zapoměl odmocnit 2. S1/(x^2+a^2)dx= 1/a arctgx/a+C
díky za kontrolu. v televizi ve zprávách byla reportáž z menzi( ti s vys.IQ), kde dali příklad S(sin^2 2x)dx. jeden člen spolku to vypočítal běhe několika sekund. taky se o to pokusím, ikdyž ještě nevím jak na to. pro vás taky hračka.
doplněno 30.03.10 21:10:1/2(x-sin4x/4)
při kontrole příkladů se mi nezdá výsledek dílčího integtálu 12*S1/(X^2+2)
12*S1/[2*(x^2/2+1)]=12/2*S1/(x^2/2+1)=6*S1/(x^2/2+1)=
byla užita substituce x^2/2=t^2
dx=2^1/2*dt
=6*2^1/2*S1/(t^2+1)=6*2^1/2*arctg(x/2^1/2)
vy uvádíte: 12/(2^1/2)*arctg(x/2^12)
á se na to mrknu, ale zjevně tam má přepis. Omlouvám se, nepřepočtu to obratem, je mi právě dost blbě, ale kontrolu si můžete udělat také derivovýním kontrolovaného výsledku.
prominte, že se vás tak naotravuju. ta zkouška derivací mého vysledku mě dala zadání příkladu. ale i tak až vám bude dobře, tak mě na to mrknite. díky a dobrou noc.
ještě naposledy. hodnotu determinantu 2způsoby rozvoje podle 2různých řad.
D=
1 2 -1 3
0 -4 7 0
4 -1 0 5
-3 2 -5 3
hodnat determinantu rozvojem podle prvů 1řady:
(-1)^(1+1)*1*
-4 7 0
-1 0 5
2 -5 3
+(-1)^(1+2)*2*
0 7 0
4 0 5
-3 -5 3
+(-1)^(1+3)*(-1)*
0 -4 0
4 -1 5
-3 2 3
+(-1)^(1+4)*3*
0 -4 7
4 -1 0
-3 2 -5
=396
doplněno 10.05.10 23:08:podle prvků druhého řádku( já si to myslel, ale v zadání je podle dvou různých řad)
=(-1)^(2+2)*(-4)*
1 -1 3
4 0 5
-3 -5 3
(-1)^(2+3)*7*
1 2 3
4 -1 5
-3 2 3
=396
hodnota determinantu=396
doplněno 10.05.10 23:09:v doplnku mě vypadlo +.
Takovéhle příklady bývají takové, že z napohled složité podoby se vyklube jednoduchý výsledek, jem se mi nezdá, že by se úplně ztratila ta odmocnina. Když budu integrovat ten výsledek, což je racionální funkce, vyjde nějaká racionální funkce v kombinaci s logaritmy a arctangentou, ale odmocnina tam nikdy nevleze. Já na tokouknu, ale teď už jdu spat.
Moc jsem se k tomu nedostal, až teď. Nicméně mi to příliš nesedí,. Než pošlu výsledek kontroly, dovoluji si přiložit scan, na kterém jsem zadání příkladu i předpokládané řešení vypsal jako vzoreček. Můžete mi říci, zda jsem to pochopil správně? (Tu druhou derivaci jsem si na první, podle vašeho doplnění, už opravil. Nicméně můj výsedek se vašemu ani neblíží.)
u příkladů na derivaci mám také uvádět Df?
jěště se vracím k příkladu y=(3*x^3-2^x)/tgx
y´=[sinx*cosx*(9*x^2-2^x*ln2)-3*x^3+2^x]/sin^2x
nebo mám dosadit cosx*sinx=1/2*sin2x
a pak y´= [sin2x*(9*x^2-2^x*ln2)+2*(2^x-3*x^3)]/2*sin^2x
jaký výsledek mám napsat?
K označení derivace spouží ta čárka (nebo, někdy, tečka nad funkcí, když se ve fyzice jedná o derivaci podle času). Nebo je božné psát df/dx, to je delší, ale zato je jasné, podle čeho derivujeme, zejména ksyž jde o funkci závislou na poarametru. Df bych sem nepletl, to se sice také někdy užívá, ale obvykle v trochu jiném významu a rozebírat by to bylo delší.
No a ty různé zápisy jsou(sinx cos x, sin 2x atd., to jsou prostě různé, ale ekvivalentní zápisy a nemám -li specifický důvod některý preferovat (jako třeba že bude výhodnější pro nějaký další výpočet), tak bych to neřešil a zvolil bych ten, který se mi nejvíce líbí.
Teď totéž stručně: Smysl té substituční rovnice - všimli jsme si, že 1- sin ^2 x = cos^2 x a že derivace sinu je kosinus, a toho využíváme k odstranění odmocniny a k převedení integrálu na integraci racionální funkce sinů a kosinů, se kterou si doufáme poradit (což lze, ale, po pravdě žešeno, v obecném případě to také nenií jednoduché).
Jak se na to přišlo: někdo měl ten výše popsaný chytrý nápad a ostatní to od něj opisují.
A teď k tomy varování: jak řečeno výše, nakonec musíme dosazovat inverzní funkci, ale sinus není prostý. TRakže správná substituční rovnice musí obsahovat ještě definiční obor takový, že zaručí prostotu: Tedy
x = g(t)= a sin t, t je z intervalu <-pi/2,pi-2. (pi je ludolfovo číslo).
ty úpravy i def. obor chápu, ale co bych nedokázal, kdybych dostal k zadání ten příklad a měl postupovat uvedenou substitucí a aniž bych znal vzorec integrálu, tak substituční rovnici x= a krát sint nevytvořím. prostě kdybych věděl teorii substituce a dostal ten příklad, tak tu subst. rovnici v tom nevidím.
No to je asi třeba si zapamatovat; prostě když se tam kromě x vyskytuje (1-x^2)^½ tak je to substituce x = sin t. (Tedy, jsou možné i jiné substituce, například t = (1-x)(1+x), x= ... (to, co se z předchozí rovnice vypočte), ale na tu bych asi taky nepřišel, kdybych se ji nenaučil z Jarníka; prostě k teorii substituce patří znát nazpamět typy příkladů a odpovídajících sunstitucí. A mimochodem, tahle substituce, jkterou se zabýváme, není samospasitelná a po jejím provedení musíte často ještě užívat další substituce nebo jiné triky. Zkuste ji třeba na
integrál (1-x^2)^½ dx. (zde pro jednoduchost a = 1). Tam vyjde integrál cos^2 x dx a co teď? To je možné počítat trikem nebo dolší substitucí tg x = t. To je zase substituce, na kterou nepijdete amusíte ji znát.
dobrý den.
budete mít čas mě to zkontolovat?
1. integrál {sinx/cos^2x }dx
substitiční metodou
t=cos^2x
výsledek=1/cosx
def.obor x se nesmí rovnat pí/2 +k krát pí
2. integrál( x^2 krát e^-x) dx
metodou per partes
u=e^-x
v=x^2
výsledek= -e^-x krát( x^2+2krát x + 2)
def. obor R
Výsledek je dobře, jen ta substituce v prvním příkladě je t - cos x, dt = -sinx dx, po substituci (místo indegrálu budu psát velké S, není to ideální, ale snad srozumitelné) S (sin x dx)/ cos^2 x = - S dt / t^2 = -(-1)/t = 1/t
a teď za t dosadíme sin x a je to (to je ta druhá podoba substitučního pravidla, kdy je ta substituce už vlastně připravena (Funkce pod integrálem nezávisí na x přímo, ale prostřednictvím substituční formule t = cos z , a navíc je v integrandu obsažena derivace toho kosinu jako násobidel dx, tedy integrand vlastně má podobu, v tomto případě, F (cos x) * d (cos x), takže nepotřebujeme funkci inverzní.
A k tomu definičnímu oboru: úlně přesné by bylo říci, že výsledek platí na každém intervalu, který neobsahuje žádný z bodů pí/2 +k krát pí; nicméně tak jak jste to napsal, tak se to běžně píše, ale vlastně je to úmluva, zkratka za to, co jsem napsal já.
Druhý příklad je O.K. Ostatně snadno se přesvědčíte zkouškou - derivováním.
(Pokud vám ta odpověď pomohla, dejte vědět, nejlépe bodíkem - ohodnocením "dobrá odpověď".)
děkuji, taky mě ta substituce mohla napadnot. bylo to mnohem jdnodušší. bodíky jsem dal. hezký večer.
Tak mnohem jednodušší možná ne, ale jednodušší určitě.
doplněno 21.03.10 20:15:Zeména proto, že při vaší substituci budete mít trochu starosti s odmocninou a se znaménky.
prosímo kontrolu.
INTEGRÁLY
1)
S { 4x/ (x2 2) 3/ (x^2 6x 10) } dx
substituce: t=x^2 2
u=x 3
S=2krát ln|x^2 2| 3krát arctg(x 3)
def.o. x se nesmí= pí/2 k krát pí -3
2)
S (3X^4 2x^3 -x)/ (x^2 2)
vydělíme čitatel jmenovatelem
3krátS x^2 dx 2krátS x dx -6krátS dx S {(12-5X)/(X^2 2) } DX
S= x^3 2x -6 6krát arctgx/2 -5/2 krát ln(x^2 2)
def.o. x se nesmí= 2krát(pí/2 k krát pí)
3)
S {2/sin^2(3x 4)}dx
substituce: t=3x 4
S=-2/3 krát cotg(3x 4)
def.o. x se nesmí=k/3 krát pí - 4/3
4)S {1/[x^1/2 krát(1 x^1/3) ]} dx
substituce: x^1/6=t
S=6krát( x^1/6 - arctgx^1/6 )
def.o. x se nesmí= -1
x>0
x se nesmí= pí/2 k krát pí
děkuji.
prosímo kontrolu.
INTEGRÁLY
1)
S { 4x/ (x2 +2) 3/ (x^2+ 6x+ 10) } dx
substituce: t=x^2+ 2
u=x +3
S=2krát ln|x^2+ 2|+ 3krát arctg(x+ 3)
def.o. x se nesmí= pí/2 +k krát pí -3
2)
S (3X^4 +2x^3 -x)/ (x^2+ 2)
vydělíme čitatel jmenovatelem
3krátS x^2 dx+ 2krátS x dx -6krátS dx+ S {(12-5X)/(X^2+ 2) } dx
S= x^3 +2x -6 +6krát arctgx/2 -5/2 krát ln|x^2+2|
def.o. x se nesmí= 2krát(pí/2+ k krát pí)
3)
S {2/sin^2(3x+ 4)}dx
substituce: t=3x+ 4
S=-2/3 krát cotg(3x+ 4)
def.o. x se nesmí=k/3 krát pí - 4/3
4)S {1/[x^1/2 krát(1+ x^1/3) ]} dx
substituce: x^1/6=t
S=6krát( x^1/6 - arctgx^1/6 )
def.o. x se nesmí= -1
x>0
x se nesmí= pí/2 +k krát pí
děkuji.
doplněno 28.03.10 22:42:ano, je tam plus.
1) def.o. x=( -pí/2-3, pí/2-3)
2) def.o. x=( -pí, pí)
3) def.o. x=((-pí-4)/3, -4/3)
4) def.o. x=( -(pí/2)^6, (pí/2)^6)
a taky x^2+2 tedy
S { 4x/ (x^2 +2) + 3/ (x^2+ 6x+ 10) } dx
Ten smějící se smajlík je zavírací závorka; když nedám pozor a nepřidám mezery, tak to editor takhle přeloží,
TAk já to vidím (početně) v pořádku, ten příklad 2 jsem opravil; tam jsde o to, že když ve jmenovateli z výrazu x^2 + 2 vytknete 2, tak z x musíte vytknout odmocninu ze dvou, takže substituce v té části, ze které vyjde arctg, nebude x/2 = t, ale x/2^½ = t (což by odpovídalo (x^2) / 2 = t^2 )
Definiční obory v posledním vydání jsou též O.K.; jen je zvykem, když uvažujeme o R bex několika bodů, že ty vyňaté body píšeme do vlnité závorky. A samozřejmě, pro ůplnou sorávnost by se měla přičíst obecná integrační konstanta.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.