Nejste přihlášen/a.
3x3-2nax/tgx
derivace
mě to vyšlo 3x2(3sin2x-2x)+2nax(2-sin2xlnx)/2sinna2x
před druhou závorko je to 2nax
ve jmenovateli sin na2
je to dobře?
doplněno 14.03.10 21:17:3krát X umocněno 3 - 2 umocněno x /tgx
derivaci.
můj výsledek. 3krátX umocněno 2 krát(3krát sin2x - 2x) + 2 umocněno x krát( 2-sin2x krát ln2 ) / 2krát sin umocněno 2 x
je to dobře?
doplněno 14.03.10 21:44:nemám skener.
zadání.
3krát X^2 - 2^x / tgx
můj výsledek. 3krát X^2 krát ( 3 krát sin2x - 2 krát X ) + 2^x krát ( 2 - ln2 krát sin2x) / 2 krát sin^2x
doplněno 14.03.10 22:20:ano, omlouvám se.
zadání. 3krát X^3 - 2^x / tgx
Jak říkám, jsou tam správné prvky, ale celkově ten výsledek nesedí. Na první pohled je chyba v tom, že jsi nějak propojil ty dva členy, spojené znakem minus. Derivace je lineární, takže ty dva členy se derivují samostatně a výsledky jsou opět spojeny minusem.
Aby nedošlo k nejasnostem, naskenoval jsem výpočet a přiložím ho jako obrázek.
asi to mám dobře, když jsem se díval na váš postup, ale já vás zmátnul tím zadáním. ještě jsem upravil sin2x= 2krát sinx krát cosx
ale omlouvám se za zápis zadání.
( 3krát X^3 - 2^X) / tgx
No já jsem si alespoň ujasnil, že tady matematika-online-a.kvali/...
mají blbě toto
A jen technická, zdá se mi, že uprostřed toho skenu je ln(x) což je ve výsledku napraveno
doplněno 14.03.10 23:21:Teda myslel jsem to "x", ještě koukám na LOG asi LN
dobrý večer.
mám určit Df arccos[2/(x+1)]
x se nesmí=-1
arccosx má Df=<-1,1>
řeším 2 nerovnice.
2/(x+1)=< -1
2=< -x-1
x=> -3
< -3, +nekonečno)
2/(x+1)=> 1
x=> 1
< 1, +nekonečno)
Df= < 1, +nekonečno)?
doplněno 19.04.10 00:37:to jsem špatně napsal.
2/(x+1)>= -1
2/(x+1) +1>=0
(x+3)/(x+1)>=0
( -nek., -3> u ( -1, +nek.)
2/(x+1)<=1
(1-x)/(x+1)<=0
( -nek., -1) u < 1, +nek)
a průnikem dostanu: ( -nek., -3> u < 1, +nek.)
je to takhle správně?
Pozor, nerovnice lze násobit kladným číslem, čili přechod od 2/(x+1)=< -1 k 2=< -x-1 je oprávněn za předpokladu, že x+1> 0, jinak se změní směr nerovnosti. Čili výpočet je komplikovanější, lze to dělat tak, jak to děláte vy, ale doplněno o naznačenou diskusi, nebo - a tomu bych asi já osobě dal přednost -převedením na jednu stranu a porovnáním vzniklého zlomku s nulou, nebo si lze všimnout, že graf funkce
z = 2/(x+1)
je hyperbola se svislou asymptotou v bodě x = -1 a vyšetřovat průběh této funkce. Každopádně by ten definiční obor měl vyjít
(=-infty, -3> U <1, +infty)
(o tu zápornou část jste se připravil, protože jste tam řešil nesprávnou nerovnost). ( znakem U značím sjednoceni a místo nekonečno píši zkráceně infty )
doplněno 18.04.10 23:38:tedy místo =-infty patří samozřejmě -infty.
chápu to správně?
o<= -1-2/(x+1)
0<=( -x-3)/(x+1)
ale pak mě vyřešením nerovnic vyjde ( -nek.,-3> u (1, +nek.)
ten druhý interval z leva otevřený, protoze x+1>0
Ten doplněk i tato poslední odpověď je správně (já reagoval ještě před tím, než jste to doplnil) jen s tím, že ten pravý interval může být vlevo uzavřený (jak uvádíte v doplňku). protože kritické pro x je bod x = _ 1 a ne x = 1, to ste se malinko popletl (v tom dotatku si to uvědomujete).
díky.
takže pokud budu řešit tento typ nerovnic, tak mám vše převést na jednu stranu, a druhá bude nulová. pak nemůžu pochybit.
ak ono pochybit lze vždy, ale já myslím, že tento postup (s tím, že na té jedné straně se vám to podaří převést na součin či podíl polynomů, redy víceméně - převést na společného jmenovatele - před tím dost chrání a postup řešení mi přijde elegantnější. Ale částečně je to i věc vkusuu.
asymptoty grafu funkce y= x^2/(x^2-1)
bez směrnice. dvě asymptoty:první přímka x=-1, druhápřímka x=1
se směrnicí. přímka y=1
můžu vás poprosit o naskenování postupu,abych si to mohl zkontrolovat.
děkuji.
je to tak, jen bych já osobně místo slov "bez směrnice" mluvil o svislé asymptotě, ale zase e to nepodstatné. Ale ten scan nechám na zítřek, teď vypínám comp a chystám se jít spát.
Nejprve stručně naznačím vyšetřeníí průběhu funkce y a nakreslím/nascanuji jeho obrázek; bude se hodit jako ilustrace k dalším úvahám:
Funkce y je sudá, je spojitá a kladná pro |x|>1, záporná pro |x | <1, v bodech x = 1, x = _ 1 je nespojitá a má tam nevlastní limity: pro x jdooucí k jedné zleva je lim y = _ infty., pro x jdoucí k jedné zprava je lim y = infty. Monotonii a konvexitu nebudu rozebírat, výsledek vyznačím v grafu (mohu si to snad dovolit, jde o ilustraci a vyšetření průběhu nebylo součástí zadání).
"Svislá asymptota" ("bez směrnice") je vlastně totéž, co nevlastní limita ve vlastním bodě; proto o ní někdy ani nemluvíme jako o asymptotě. Podle toho má naše funkce skutečně dvě takové asymptoty, totiž x = -1 a x = 1. K tomu není co dodat, je to zcela jasné. Snad jen to, že každá z obou těchto asymptot představuje vlastně v jistém názorném asymptoty dvě, jednu zleva a jednu zprava.
Zajímavější je případ asymptotu v nekonečnu, "asymptotu se směrnicí". K tomu je následuící text:
Asymptota "se směrnicí" (asymptota v nekonečnu, "pravá" asymptota) je taková přímka p ≈ y = kx+ q, která co nelépe aproximuje funkci při x rostoucím nade všechny meze (resp. v minus nekonečnu kesajícim pode všechny meze. Dále (výpočet a další poznámky) viz scan; v zájmu lepší čitelnosti ho rozdělím na dva obrázky.
Tohle byl úvodní obecný text; to asi znáte, takže ho můžete i přesoočit, ježe je v něm zavedeno dále užité označení.
Další obrázek obsahuje obecný výpočet asymptoty, ale když se nad ním zamyslíte, vidíte, že pokud fce f má v nekonečnu vlastní limitu q, můžete ho zjednodušit:potenciální směrnice k je automaticky nula, takže její výpočet můžete přeskočit a rovnou psát rovnici asymptoty
y = qx.
Porovnáte- li to s úvodním obrázkem průběhu funkce, e vše jasné. Také je na nněm krásně vidět, že přímka y = 1 představuje vlastně dvě přímky, asymptou v nekonečnu a v minus nekonečnu, které náhodou splývají.
doplněno 20.04.10 14:37:Občas jsem to trochu načmáral, snad je jasné, že ta limita q/x má být prox jdoucí do nekonečna, a ne že je to limita q pro x jdoucí do x.
(Slovy: limita pro x jdoucí do nekonečna výrazu q/x je nula pro jakékoli q)
jaký je rozdíl, když napíšu, že funkce je spojita á záporná pro x< -1, a kladná pro x>1?
a jen pro zajímavost jak je to s konvex. a konkav. a etrémem?
v bode x=o je 1 a 2 derivace nulova.
Hf=R
je na intervalu ( -1,1) konkávní?
Rozdíl je v tom, že nerovnost |x| <1 představuje po rozepsání dvě nerovnosti, totiž -1 < x < 1, a podobně je to s |x |> 1, tam už se to musí napsat explicitně jako dvě nerovnosti, protože to nejde zřetězit. Takže ona ta funkce je pro x < -1 taky kladná; mělo by to být jasné z toho úvodního obrázku.
A k konvexitě a extrémům: já jsem ten průběh neřešil do podrobna v těch scanech. Postub by byl takový, že bych spočítal první a druhou derivaci, a na intervalech, kde by první derivace byla kladná (záporná), byla by funkce rostoucí (klesající) (Vlastně vyjde víc: v daném příkladě by derivace vyšla kladná mimo jiné na intervalu (-1, 0) otevřeném - v bodě nula by byla, jak píšete, nulová - ale funkce je rostoucí na polouzavřeném intervalu (-1,0>; to plyne ze spojitosti.) Monotonie pak vyjde tak, jak je vidět na tom obrázku, a že je v bodě nula lokální eztrém, to vyjde už jen z té monotonie. Váš dotaz plyne možná z toho, že znáte větu, podle které v bodě, kde je první derivace nulová a druhá kladná (záporná), je lokální minimum (maximum), a nevíte, co s tím, když jsou obě nulové. Nuže, jak vidíte, v našem případě už pro zjištění existence extrému druhou derivaci ani nepotřebujete. Obecně, jsou -li obě ty derivace nulové, ta věta netvrdí o extrému nic a je třeba ho zjištovat jinak. Krom postupu z našeho příkladu je možné derivovat dál a první nenulová derivace zafunguje jako první, je-li lichá, ajako druhá, je-li sudá.
Dále, Hf není celé R, neobsahuje nterval (0,1>. a konvexita? Věta o konvexitě/konkávnosti v základní podobě říká, že na otevřeném intervalu, kde je druhá derivace kladná/záporná, je funkce konvexní/konkávní. Ale ze spojitosti je to pravda, i když je ta druhá derivace kladná, resp. záporná v celém intervalu až na konečně mnoho bodů. zde tedy až na bod x = 0, takže ano, je konkávní na intervalu
( -1,1).
Já jsem to vyjádřil ve zkratce, když říkám, že extrém vyšetříme z monotonie, zahrnuji pod to i typ extrému. Takže úplněji: Fynkce f nemůže mít globální extrém, protože není omezená (ani shora, ani zdola), jak plune z toho, že v budech 1,-1 má jednostranné limity plus i minus nekonečno.
V intervalu (-1,0> je funkce rostoucí, v <0,1) je klesající, má tedy v bodě 0 lokální extrém, přesněji lokální maximum, který je zároveň maximem vzhledem k množině (-1,1); ale není to globální extrém. Lokální minimum pak funkce nemá; na intervalu (1,+nekonečno) je klesající, ale v krajních bodech není definována, takže potenciální extremální hodnoty nenabývá (hodnota y= 0 je infimem vzhledem k množině (1, nekonečno), nikoli však minimem). To je ve shodě s tím vizuálním pohledem..
prominte,až jsem odeslal dotaz, tak jsem si uvědomil, že se jedná o lokální extrém. asi vám připadám jak totální idiot.
vypočítat objem rotačního tělěsa, které vznikne rotací křivky kolem osy x pro x<0,4>
y={1/[1+(2x+1)^1/2]}^1/2
V= 1-1/2(ln3)
je to správně?
díky.
doplněno 24.04.10 19:19:ano, píx[ 1-1/2(ln3)]
doplněno 24.04.10 19:37:V=píxS Fx^2 dx
doplněno 24.04.10 19:59:pí*(2+ln1/2)
Podívám se. Ale jen tak na první pohled mám pocit, že by tam mělo být někda číslo pí.
doplněno 24.04.10 19:15:Napište zatím vzorec, který jste použil.
Vzorec je správně, (tedy ten druhý, pokud mezi pí a S je krát. Plete se to s x, užívejte raději hvězdičku), a kam se vám ve výsledku podělo to pí?
Jinak, mně to vyšlo trochu jinak, ale ještě to přepočtu, abych vás nemátl.
doplněno 24.04.10 20:21:zzztak mně vychází 2(pí)*(1-½ ln 2)
pí*S1/[ 1+(2X+1)^1/2]
subs. t=(2x+1)^1/2
tdt=dx
pí*S[1/(1+t)]dt=pí*S[1-1/(1+t)]dt=pí*(t-lnItl)=pí*[ (2x+1)^1/2 - ln l ( 2x+1) l = pí*( 2+ln1/2)
To je O.K., rozdíly ve výsledku jsou jen formální: já jsem dvojku vytkl a místo zlomku v logaritmu jsem dal před logaritmus mínus.
Jedno bych ale přece vytkl: pletete dohromady určitý a neurčitý integrál. Správně by bylo, psát to, co jste počítal, až k poslednímu výrazu - to je neurčitý integrál, a pak do něj dosadit meze na samostatném řádku. Takhle se vám funce (neurčitý integrál) rovná číslu; to jsou objekty jiného druhu.
A na okraj, kdybyste důsledně pacoval od začátku s určitým integráem, čili psal všude meze, tak byste mohl substituovat i za ně: když x je v mezích 0 a 4, pak t je v mezích 1 a 3, to pak lze dosadit přímo do výrazu pí*(t-lnItl) a odpustit si tu zpětnou substituci. Ne že by to bylo velké zjednodušení, ale přeci jen...
(Mimochodem, to je vlastně také formální nepřesnost, máte tam rovnost mezi funkcí argumentu x a funkcí argumentu t, ale to lze brát jako zkratku s tím, že mezi x a t je ten váš substituční vztah.)
meze jsem nepsal pro zjednodušení zápisu.
pokud dosadím meze 1,3 za t
pí*S t-lnItI=pí* [(3-ln3)-(1-ln1)]=pí*(2-ln3)?
doplněno 25.04.10 00:30:při zápisu výpočtu jsem udělal chybu, proto jsem nedostal stejný výsledek pro meze u t.
správně to má být. pí*( t-lnIt+1I ) a ne pí*(t-lnItI)
pí*[ (3-ln4)-(1-ln2)]=pí*(2-ln2)
děkuji za kontrolu.
potřebuji ještě poradit s vyšetřením průběhu funkce.
F(x)=x^4-4x^3+4x^2
D(f)=R
F(-x)ne=+-F(x) ⇒ funkce není sudá ani lichá
chování funkce v krajních bodech D(f)
limx→+-oo=+oo
průsečík s osou y: x=0⇒y=0, Py=[0,0]
průsečík s osou x : y=0
x^4-4x^3+4x^2=0
x^2*(x-2)^2=0
X1=0, X2=2⇒Px=[0,0] a [2,0]
vyštření, kdy je funkce kladná a kdy záporná.
F(x)>0 F(x)<0
x^2*(x-2)^2>0 x^2*(x-2)^2<0
X E(-oo, 0) u ( 0,2) u (2, +oo) X E{ }
vyšetření monotonnosti a lok. extrémů:
F´(x)=4x^3-12x^2+8x=4x*(x-1)*(x-2)
stacionární body:
F´(x)=0
4x*(x-1)*(x-2)=0
X1=0, X2=1, X3=2
body, ve kterých není 1derivace definovaná, funkce nemá.
na získaných 4intervalech vyšetříme monotonnost funkce.
F´(x)>0
4x*(x-1)*(x-2)>0
X E(0,1) u (2,+oo)
F´(x)<0
4x*(x-1)*(x-2)<0
X E( -oo, 0) u (1,2)
tedy funkce je rostoucí v intervalech (0,1) a ( 2,+oo), klesající v intervalech (-oo, 0) a (1,2).
lokální kinimum má v bodech x=0 a x=2.
lokální maximum má v bodě x=1.
vyšetření konvexitay a konkávity:
F´´(x)=12x^2-24x+8=4*(3x^2-6x+2)
F´´(x)=0
4*(3x^2-6x+2)=0
X1=(3+3^1/2)/2 , X2=(3-3^1/2)/2
na získanych 3 intervalech vyšetříme konvexitu a konkávitu:
F´´(x)>0
4*[ x- (3+3^1/2)/2] * [ x- ( 3-3^1/2) ]>0
X E(-oo, (3-3^1/2)/2) u ( (3+3^1/2)/2 , +oo )
F´´(x)<0
X E( (3-3^1/2) , ( 3+3^1/2) )
tedy funkce je konvexní na intervalech (-oo, (3-3^1/2) ) a ( (3+3^1/2) , +oo), konkávní na intrvale ( (3-3^1/2) , (3+3^1/2) ).
inflexní bod: F´´(x)=0⇒X1=(3-3^1/2) a X2=( 3+3^1/2)
asymptoty bez směrnice neexistují, protože D(f)=R a funkce je všude spojitá.
asymptoty se směrnicí graf funkce také nemá, protože
k=limx→+-oo F(x)/x = +-oo
náčrt. grafu(nemám scan)
díky, nemusíte.
doplněno 25.04.10 23:46:jsou to tyto body, protože v nich konvexita přechází v konkávnost a obráceně.
dobrý den, mám na kontrolu další příklad.
vyšetřit průběh funkce y=(x^2-2x+2)/(x-1)
D(f)=R-{1}
funkce není spojitá v bodě X=1.
funkce není udá ani lichá, protože není definovaná v bodě x=1,a le v bodě x=-1 ano.
zjistíme chování funkce v krajních bodech D(f) a v bodě nespojitosti x=1.
limx→-oo (x^2-2x+2)/(x-1) =-oo
limx→+oo (x^2-2x+2)/(x-1) =+oo
limx→1- (x^2-2x+2)/(x-1)=-oo
limx→1+(x^2-2x+2)/)x-1)+oo
průsečík s osou y: x=0⇒y=0, Py=[0,-2]
průsečík s osou x: y=0⇒(x^2-2x+1)/(x-1)=0
rovnice nemá reálné kořeny( D<0)⇒ průsečík sosou x funkce nemá.
vyšetření kdy je funkce kladná a kdy záporná.
(x^2-2x+2)/(x-1)>0
XE(1,+oo)
(x^2-2x+2)/(x-1)<0
XE(-oo, 1)
funkce je kladná v intervalu (0,+oo), záporna v intervalu(-oo,1)
vyšetření monotonnosti a lok. extrému funkce.
F´(x)=x*(x-2)/(x-1)^2
stacionární body: F´(x)=0
x*(x-2)/(x-1)^2=0
X1=0, X2=0
F´(x) není definovaná pro X3=1.
na získaných 4intervalechvyšetříme monotonnost funkce.
F´(x)>0
x*(x-2)/(x-1)^2>0
jmenovatel je vždy kladný, stačí řešit nerovnici:
x*(x-2)>0
XE(-oo,0) u (2,+oo)
F´(x)<0
x*(x-2)<0
XE(0,1) u (1,2)
funkce je rostoucí v intervalech (-oo,o) a(2,+oo), klesající v intervalech (0,1) a (1,2).
lokální maximum má funkce v bodě x=0 a lokální minimum vbodě x=2.
vyšetření konvexity a konkávity.
F´´(x)=2/(x-1)^3
F´´(x)ne=0⇒nulové body 2derivace nemá.
není definovaná v bodě x=1.
na získaných 2intervalech vyšetříme konvexitu a konkávitu:
F´´(x)>0
2/(x-1)^3>0
XE(1,+oo)
2/(x-1)^3<0
XE(-oo, 1)
tedy funkce je konvexní v intervalu (1,+oo), konkávní v intervalu(-oo, 1)
inflexní bod funkce nemá( v bodě x=1 je nespojitá).
určení asymptot:
asymptota v bodě nespojitosti x=1:
limx→1- F(x)=-oo
limx→x1+F(x)=+oo
asymptotou bez směrnice je přímka x=1
asymptoty se směrnicí grafu funkce:
k=limx→+-oo F(x)/x=1
q=limx→+-oo(F(x) -k*x)=-1
asymptotou se směrnicí je přímka y=x-1
další příklad: vyšetřit intervaly monotonnosti a lokální extrémy funkce y=x^2*lnx
D(f)=(0,+oo), proto funkce není sudá ani lichá.
chování funkce v krajních bodech D(f):
limx→0+ x^2*lnx=limx→0+ lnx/(1/x)=limx→0+ (1/x)/(-2/x^3)=limx→0+ -x^2/2=0
limx→+oo x^2*lnx=+oo
průsečík s osou y neexistuje
průsečík s osou x: x^2*lnx=0
x=1, tedy Px=[1,0]
vyšetření kdy je funkce kadná a kdy záporná:
F(x)>0
x^2*lnx>0
XE(1,+oo)
F(x)<0
x^2*lnx<0
XE(0,1)
funkce je kladná v intervalu(1,+oo), záporná v intervalu(0,1).
vyšetření monotonnosti a lok. extrémů funkce:
F´(x)= x*(2*lnx+1)
F´(x)=0
x*(2*lnx+1)=0
x=e^-1/2
na získaných dvou intervalech vyšetříme monotonnost:
F´(x)>0
x*(2*lnx+1)>0
XE(e^-1/2, +oo)
F´(x)<0
x*(2*lnx+1)<0
XE(0,e^-1/2)
funkce je klesající v intervalu (0,e^-1/2) a rostoucí v intervalu(e^-1/2, +oo).
lokální minimum nastává v bodě x=e^-1/2
vyšetření konvexity a konkávity:
v zadání to už nebylo, ale jestli je to dobře: inflexní bod x=e-3/2
asymptoty bez směrnice funkce nemá( limx→0+ F(x)=0), nejsou ani asymptoty se směrnicí(k=limx→+oo F(x)/x=+oo)
K poslednímu příkladu nemám výhrad, tedy pokut v tom výpočtu limity v nule je v první úpravě skutečně překlep. Zřejmě je. protože i když je tam ve jmenovateli chybně 1/x, dále v LHospitalově pravidle počítáte správně.
jestli ještě můžu otravovat.1)
vyšetřete intervaly konvexity, konkávity a inflexní body funkce:
y=(x^2/2) + (1/x)
D(f)=R-{0}
funkce je nespojitá v bodě x=0
F´(x)=x-(1/x^2)
F´´(x)=1+(2/x^3)=(x^3+2)/x^3
2derivace není definovaná v bodě x=0
najdeme nulové body 2derivace:
F´´(x)=0
(x^3+2)/x^3=0
x=-2^1/3
na získaných 3 intervalech vyšetříme konvexitu a konkávitu:
F´´(x)>0
(x^3+2)/x^3>0
XE(-oo,-2^1/3) u (0,+oo)
F´´(x)<0
(x^3+2)/x^3<0
XE(-2^1/2,0)
funkce je konvexní v intervalu (-oo,-2^1/3) a (0,+oo), konkávní v intervalu (-2^1/3,0)
inflexní bod má v bodě x=-2^1/3 ( konvexita přechází v konkávnost).
2) limx→2 (4x^2-5x-6)/(x^4-16)=11/32
3) limx→3 (2x-1)/(9-x^2)
určím obě jednostranné limity a jejich porovnáním rozhodneme o existenci a hodnotě zadané limity.
L=limx→3- (2x-1)/(9-x^2)=+oo
P=limx3+ (2-x)/(9-x^2)=-oo
L ne=P daná limita neexistuje, v bodě x=3 existují pouze obě jednostranné limity.
Tohle je zcela dobře, jen snad řešení příkladu 2 bych rozvedl (například: dělal jse to L¨Hospitalem nebo zkrácením výrazem x-2?)
vykrátil jsem (x-2) a dosadil za x.
doplněno 28.04.10 23:00:ale vidím, že L Hospitalem je to rychlejší.
Tak. Ale za napsání to stojí, zvlášt proto, že přichází v úvahu i ta druhá metoda. (Vlastně když jen napíšu výsledek, tak jsem to ani nemusel řešit - mohl jsem použít třetí metodu, totiž opsání z výsledků.) Ale dobře to samozřejmě je.
dobrý večer, můžu ještě požádat , at se na to mrknete?
P(x) =x^5+4x^4-x^3-10x^2-6x-36
rozložte polynom v R na součin koř. činitelů.
použiji Hornerovo schéma:
celočíselnými kořeny daného polynomu jsou dělitelé absolut. členu=-36.
tedy čísla +-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-36
pomocí Hornerova schématu zjištujeme, zda některý z nich je skutečný kořen.
uvedu to bez tabulky.
1 4 -1 -10 -6 -36
1 1 5 4 -6 -12 -48ne=0
-1 1 3 -4 -6 0 -36ne=0
2 1 6 11 12 18 0 kořen
2 1 8 27 66 150ne=0
číslo 2 je jednodichým kořenem a polynom lze rozložit: x^5+4x^4-x^3-10x^2-6x-36=(x-2)*(x^4+6x^3+11x^2+12x+18)
hledáme kořeny polynomu x^4+6x^3+11x^2+12x+18
1 6 11 12 18
-2 1 4 3 6 6ne=0
3 1 9 38 126 396ne=0
-3 1 3 2 6 0 kořen
-3 1 0 2 0 kořen
dalším kořenem, dvojnásobným, je číslo-3.
zbytkový polynom x^2+2 je polynomem 2řádu, který nemá reálné kořeny.
daný polynom lze vyjádřit ve tvaru součinu kořenových činitelů: x^5+4x^4-x^3-10x^2-6x-36=(x-2)*(x+3)^2*(x2+2)
doplněno 01.05.10 20:18:zbytkový polynom x^2+2 nemá reálné kořeny, ale komplexnímy kořeny jsou (x+2i) a (x-2i).
myslíte takhle asi?
doplněno 02.05.10 00:34:(x+2^1/2i) a (x-2^1/2i)
Při zběžném pohledu mi to přijde dobře. Ještě se podívám podrobněji a když tak se ozvu. A jen poznámku - to co jste udělal, je rozklad na reálné činitele, tedy na ireducibilní polynomy, užívá se třeba pro rozklad na parciální zlomky. Jinak samozřejmě má polynom ještě dva komplexní kořeny a rozklad lze o to rozšířit, ale k tomu napíšu podrobněji po té kontrole (asi je vám to ale jasné).
doplněno 01.05.10 00:01:No ten rozklad je O.K. , až na vynechání symbolu ^ v posledním dvojčlenu; to je ovšem zřejmé přepsání. Teď jen jaký to je rozklad: kořenový činitel je člen (x-x0), kde x0 je kořen; v rozkladu se pak vyskytuje v mocnině, která odpovídá násobnosti kořene. Tohle se týká každého polynomu, at s reálnými či komplexními koeficienty, a a týká se všech kořenů, reálných či komplexních. Z tohoto hlediska je váš výsledek neúplný, poslední člen x^2+2 je třeba ještě rozložit na (x+2i)(x-2i)
Na druhou stranu, vy máte polynom s reálnámi koeficienty, a tam je možné požadovat, aby v tom rozkladu se vyskytovaly opět pouze reálné polynomy. Pak se jedná o rozklad na ireducibilní polynomy, což mohou být buď opravdu kořenoví činitelé, nebo, pokud některý z kořenů je komplexní, pak číslo komplexně združené je nutně též kořenem a jejich spojením dostanete, jak píšete, kvadratický polynom nemající reálné kořeny, a tak vznikne to, co jste napsal. Speciálně v integrálním počtuse používá právě tento rozklad, z něhož pak odvodíme, v případě žerozkládaný polynom je ve jmenovateli racionální funkce, rozklad této funkce na parciální zlomku a typak umíme integrovat. Pravděpodobně toto bylo účelem vašeho rozkladu a z tohoto hlediska je to dobře (jen termín je nepřesný).
A ještě poznámku na okraj k postupu nalezení kořenů. Ten je samozřejmě v pořádku, po malé úpravě metodiky lze takto hledat i racionální kořeny, ale samozřejmě nenajde kořen , který není racionální. To ovšem souvisí s tím, že u polynomů stupně nejméně pátého obecný vzorec pro kořeny prostě neexistuje (a Kardanovy vzorce pro rovnice třetího a čtvrtého stupně jsou z praktického hlediska celkem k ničemu), takže se uchylujene k takovýmhle speciálním metodám, které vedou k cíli jen někdy.
zadání znělo rozložit na součin koř. činitelů. mohu to takhle prezentovat?
doplněno 01.05.10 00:15:vzadání bylo uvedeno v R.
K tomu mohu říci jen tolik, že to není v pravém slova smyslu rozklad na kořenové činitele, ale že v reálném oboru to jinak nejde. Takže ono to zadání asi bylo myšleno tak, jak jste ho řešil, nicméně pro jistotu bych to doplnil poznámkou, že polynom x^2 + 2 nemá reálné kořeny (to tam máte), a že jeho komplexní kořeny jsou...
Něco v tom duchu najdete na vydavatelstvi.vscht.cz/... :
3. Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz ax2 +bx+c, který nemá reálné kořeny, tj. b2 − 4ac < 0, odpovídá tomuto činiteli v rozkladu parciální zlomek tvaru
Ax + B
ax2 + bx + c
,
kde A,B jsou vhodné konstanty. (Případem vícenásobných imaginárních kořen˚u se
nebudeme zabývat, řeší se podobně jako případ 2.)
Další poučení o problematice je nepř. v home.zcu.cz/... nebo cs.wikipedia.org/...
=================================================
Na to další zadání se podívám, zatím jsem ho nečetl. teď jsem přišel k počítači s tím, že odpovím na u předposlední otázku.
1) určit matici x, aby platilo A-X= 2*B*A
X=
-13 16 -5
18 -19 8
-15 2 -2
MŮŽU VÁS POPROSIT O SCAN?
2)řešte soustavu linaárních rovnic.
x+2y+3z=7
x-3y+2z=5
x+y+z=3
z koeficientů sostavy vytvořím rozšířenou matici a pak pomocí ekvivalent. úprav převedeme na stupnovitou matici.
1 2 3 7
0 -5 -1 -2
0 0 -9 -18
x=1, y=0, z=2
(1,0,2)
MŮŽU PROSIT SCAN.
3) určetehodnost matice
2 -1 2 -2
2 -1 2 0
1 -3 1 1
4 3 4 -3
úpravami převedeme na ekvivalent. stupnovou matici.
2 -2 2 -2
0 1 0 2
0 0 0 12
0 0 0 0
hodnost matice h(A)=3
MŮŽU PROSIT O SCAN?
děkuji.
doplněno 01.05.10 19:37:A=
3 -2 1
2 1 0
1 -2 0
B=
2 -1 1
-4 2 0
1 2 1
Na první pohled: v zadání příkladu 1 chybí zadání metic A, B; bez toho nelze konkrétní hodnoty pro X určit (lze ji vypočítat obecně, ale konrétní hodnoty dosaneme až po dosazení).
doplněno 01.05.10 19:30:matic, samozřejmě
K poslednímu doplňku: tak nějak jsem to myslel, až na to, že jsem vás zmátl, ty kořeny samozřejmě nejsou +-2i , ale +-2^½ i.
doplněno 01.05.10 22:35: Posledním doplňkem myslím:
No když již nejsou příslušné znaky, tak proč to alespoň nenapíšeš srozumitelně
3x3-2nax/tgx
To 3x3 absolutně nevím, zbytek za mínusem je snad (2 umocněno x)/tg(x)
Souhlas.
Místo "umocněno" lze taky napsat ^
tedy 2^x, tedy úpokud je to to, co tam má být. Ale mám podezření, že to 3x3 bude mít nějaký hlubší význam, ale absolutně nevím jaký. Nemohl by tazatel ten vzoreček napsat a nascanovat? Pokud nemá scaner, prosím ho: zkus to napsat nějak srozumitelně.
Ještě se můžeme pokusit to rozšifrovat na základě předpokládaného výsledku, ale tomu srozumitelnějšímu zápisu bychom jistě oba dali přednost.
Teď už je ten zápis srozumitellný.
Na ten výsledek se podívám. Úplně špatně to nebude, ale obávám se, že úplně dobře taky ne. Za chvíli.
Po vysvětlivce ale toto doplnění 3krát X^2 - 2^x / tgx neodpovídá původnímu zadání. Nebo se pletu.
No já se již dál nebudu angažovat. Prostě 45 let od matematiky na ČVUT je již dost.
Pár základních pravidel a pár základních vzorců je tady.
Zderivovat by neměl být problém a následovat by mohla jen úprava goniometrických vztahů.
Počkej na "kartagince"budeš to mít na tuty, zvláště když "nezlobíš"jako "josef".
P.S. V těch vzorcích se mi nějak nezdá výsledek derivace (a^x)‛
K těm příkladům z algebry (matice atd): co přesně byste potřeboval? Pokud chcete jen kontrolu výsledku, k tomu nevím, jaký byste chtěl scan, tedy čeho. K postupu: vy uvádíte jen hlavní myšlenku, kterou je při řešení třeba rozvést; píšete-li například ekvivalntními úpravamy převedeme...,tak by bylo vhodné ty úpravy vypsat, postup není jednoznačný, lze ty úpravy dělat různě.
Kontrolu provedu (ale ne už teď,), zatím jsem zběžně kontroloval příklad 1 a to mi nevychází podle vás.
první sloupec pod hlav. diagonálou vynulujeme přičítáním násobků prvního řádku k dalším řádkům. postup s opakuje pro druhý sloupec s tím, že první řádek zůstává beze změny atd. nevím jak to pomocí klávesnice napsat toto násobení a odečítání, proto vás žádám o scan, jestli postupuji dobře.
doplněno 02.05.10 17:00:1) určete matici X,aby platilo A-X=2*BA
A=
3 -2 1
2 1 0
1 -2 0
B=
3 -1 1
-4 2 0
1 2 1
B*A=
8 -9 3
-8 10 -4
8 -2 1
2*BA=
16 -18 6
-16 20 -8
16 -4 2
X=A-2*BA=
-13 16 -5
18 -18 8
-15 2 -2
2) určete hodnost matice 2 -2 2 -2
2 -1 2 0
1 -3 1 1
4 3 4 -3
upravíme matici na stupnový tvar.
2 -2 2 -2 *(-1)/ *(-2) 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2
2 -1 2 0 přičtu nasobek prvního 0 1 0 2 *(4) / *(-7) 0 1 0 2 0 1 0 2
1 -3 1 1 0 -4 0 4 přičtu násob.druhého 0 0 0 12 *(13) 0 0 0 12
4 3 4 -3 přičtu násobek prvního 0 7 0 1 přičtu násob.druhého 0 0 0 -13*(12)přičtu násob.třetího 0 0 0 0
hodnost matice h(A)=3
doplněno 02.05.10 17:20:2) určete hodnost matice
2 -2 2 -2
2 -1 2 0
1 -3 1 1
4 3 4 -3
vyměníme 1řádek se 3 a upravíme matici na stupnový tvar
1 -3 1 1
2 -1 2 0
2 -2 2 -2
4 3 4 -3
(-2)násobek 1řádku + 2řádek,(-2)*1řádek+3řádek,(-4)*1řádek+4řádek
1 -3 1 1
0 5 0 -2
0 4 0 -4
0 15 0 -7
(-4)*2řádek+(5)*3řádek,(-3)*3řádek+4řádek
1 -3 1 1
0 5 0 -2
0 0 0 -12
0 0 0 -1
(-1)*3řádek+(12)*4řádek
1 -3 1 1
0 5 0 -2
0 0 0 -12
0 0 0 0
hodnost matice h(A)=3
doplněno 02.05.10 17:40:3)řešte soustavu lineárních rovnic
x+2y+3z=7
x-3y+2z=5
x+y+z=3
z koeficientů rovnice vytvoříme rozšířenou matici soustavy
AR= 1 2 3 7
1 -3 2 5
1 1 1 3
matici upravíme na stupnový tvar:
(-1)*1řádek+2řádek,(-1)*1řádek+3řádek
1 2 3 7
0 -5 -1 -2
0 -1 -2 -4
(-1)*2řádek+(5)*3řádek
1 2 3 7
0 -5 -1 -2
0 0 -9 -18
h(A)=3=h(AR) má soustava řešení. navíc platí h(A)=3=n, tedy soustava má právě 1řešení. získáme hozpětným dosazováním, odpovídající stupnové matici.
x+2y+3z=7
-5y-z=-2
-9z=-18
z=2
y=0
x=1
řešení: (1,0,2)
doplněno 09.05.10 17:00:matice B měla špatné zadání.
B=
2 -1 1
-4 2 0
1 2 1
X=
-7 12 -3
18 21 8
-15 2 -2
JE TO DOBŘE?
Vaáš zápis 1. příkladu je dostatečně přehledný a je dobře. Mně to nevycházelo, protože před tím jste měl matici B jinak (v levém horním rohu byla dvojka).
Mohu posléze poslat i scan, ale nejdříve se podívám na ty další příklady-
doplněno 02.05.10 21:40: Příklad 2 v poslední podobě je rovněž přehledný a správně, jen bych místo, například, (-2)násobek 1řádku + 2řádek , psal
Obrázek maticové rovnoce (dtto).
Budete-li mít ještě další úlohy, prosím založte novou otázku, tohle už je silně nepřehledné; děkuji.
Příklad 3. se mi vidí dobře; ,ožná ještě zítra udělám scan. Jen bych připomněl, že samozřejmě to, co děláte, (v podstatě Gaussova eliminační metoda), není jediná mžnost. Zde je matice soustavy regulární, lze tedy použít Jordanovu metodu ("zpětný chod" Gaussovy metody, kdy matici soustavy (tu nerozšířenou) převedeme na jednotkovou (samozřejmě ůpravy provádíme na celou rozšířenou matici), nebo lze najít inverzní matici, případně použít Cramerovo pravidlo (s pomocí determinantů). Také lze použít dosazovací metodu - z první rovnice (například) vypočíst x a dosadit do dalších rovnis.
Zatím dobrou noc.
Neneseme odpovědnost za správnost informací a za škodu vzniklou jejich využitím. Jednotlivé odpovědi vyjadřují názory jejich autorů a nemusí se shodovat s názorem provozovatele poradny Poradte.cz.
Používáním poradny vyjadřujete souhlas s personifikovanou reklamou, která pomáhá financovat tento server, děkujeme.